組み合わせと論理(早稲田大学入試問題)

レベル:大学入試

こんにちは、皆さんお元気ですか?

今日は久しぶりに組み合わせの問題をやってみましょう。

 

早稲田大学入試問題
  問題

数字1,2,3をn個並べてできるn桁の数の全体を考える。そのうち1が奇数回現れるものの個数をan 、1が偶数回現れるか全く現れないものの個数を bnとする。 以下の問いに答えよ。

(1)an+1 , bn+1 を an、bnであらわせ。

(2)an、bn を求めよ。


 

【解説】

どうですか皆さん、簡単ですね。   

an  + bn = 3n

であることに注意しましょう。なぜだかわかりますか?

(n+1)桁の数は、全てn桁の数+(1あるいは2あるいは3)の形であらわせますね。

文章で書くとわかりにくければ、

(n+1)桁の数=*(n桁の数)=*( an あるいはbn  ) 

*の部分には1,2,3のいずれかが入ります。

an が   an+1になるためには、*の部分に2,3が入ることが必要十分です。 bn  がan+1 になるためには、*の部分に1が入ることが必要十分です。

従って、  

an+1 =2an  + bn    

同様に、  

bn+1=an  + 2bn     

an+1+bn+1 =3( an  + bn  )

an  + bn  =3n-1 ( a1 + b1 )

a1 = 1 , b1=2  

an  + bn  = 3n  

an+1 – bn+1 =( an  - bn  ) = -1

これを an  、  bn   に関する連立方程式と考えて解くと、

an = ( 3n- 1)/2 bn =( 3n+ 1)/2

 

組み合わせというのは何となくぼんやりとしてわかりにくいので、皆さんいろいろとたくさん自分でやってみて、フィーリングをつかんでくださいね。



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