組み合わせと論理

吉祥女子中学入試問題

皆さんお元気ですか?すっかり冷えてきましたね。風邪をひかないようにして頑張ってくださいね。

今日は中学入試問題をやってみましょう。

こういう場合分けを考えてやることを身に付けておかないと、フェルマーの大定理も解けるようにはなりませんよ。

最も逆は真ならずで、こういう問題がスラスラできるようになっても、フェルマーの大定理が解決できるようになるとは限りませんが。

 

吉祥女子中学入試問題
  問題

松山君、竹内君、梅田君の3人が5回のじゃんけんをして、以下のア~オがわかりました。竹内君と梅田君がグーを出した回数はそれじれ南海ですか。

(ア)5回のうち引き分けは2回あった。

(イ)松山君はグーを4回、パーを1回出した。

(ウ)竹内君はパーを1回も出さずに、また1回も負けなかった。

(エ)梅田君はチョキを2回出した。

(オ)竹内君と松田君は同じものを1回だけ出した。

 

 

【解説】

こういう問題は場合に分けて要領よくコツコツやるに限ります。高級な定理を使って一度に解決しようとすると、手がつかなくなります。

 

  1 2 3 4 5
松山          
竹内          
梅田          

条件に合わせてこの表を埋めてゆけばよいわけです。

順序は問題になりませんから、松山君については、すぐに埋めることができますね。

  1 2 3 4 5
松山 G G G G P
竹内          
梅田          

ここでは、簡潔にするためにグーをG,チョキを、パーをPで表します。

条件より梅田君はチョキを2回だしていますから、そのうちの1回は松山君のGと重なります。

つまり、

  1 2 3 4 5
松山 G G G G P
竹内          
梅田 C        

が決まります。

条件より竹内君は、グーかチョキしか出していません。したがって最初の列の竹内君の空白はグーかチョキです。チョキだとすると、松山君のグーが勝って竹内君と梅田君のチョキが負けます。

これは条件(ウ)の竹内君が1度も負けなかったというのに反します。したがってこのマスの竹内君はグーを出したことになります。

  1 2 3 4 5
松山 G G G G P
竹内 G        
梅田 C        

次に条件(オ)より竹内君と梅田君は同じものを1回出しています。これが松山君がパーを出したときだとすると、竹内君はグーかチョキしか出していませんから、5列目の空白をチョキかグーで埋めることになりますが、竹内君、梅田君が二人ともグーですと、松山君のパーが勝って、竹内君が一度も負けなかったという条件に反します。

従ってここはチョキしかありません。

  1 2 3 4 5
松山 G G G G P
竹内 G       C
梅田 C       C

さて条件より梅田君はチョキを2回出していますから、もうチョキは2回出ていますし、竹内君と梅田君は同じチョキをもう出していますから、同じものは出せませんから、竹内君と梅田君はグーとパーしか出せません。条件より竹内君はパーを出していませんから、この表の空欄は、竹内君がチョキで梅田君がパーとなります。

  1 2 3 4 5
松山 G G G G P
竹内 G C C C C
梅田 C P P P C

すると引き分けが3回になって、条件(ア)に反します。

竹内君と梅田君が同じものを出したのは5列目の松山君がパーを出したときではないことがわかりますね。

竹内君と梅田君が同じものを出したのは、松山君がグーを出したときになります。

この時に竹内君と梅田君がグーかチョキを出したことになります。

二人ともチョキだと竹内君が負けたことになりますから、ここはグーとなりますね。

  1 2 3 4 5
松山 G G G G P
竹内 G G      
梅田 C G      

ここまでわかったところでもう一度5列目を考えてみましょう。梅田君がチョキだとすると、梅田君と竹内君はすでに同じものを出していますから、条件(オ)より、竹内君はグーしか出せません。

つまり5列目は引き分けになります。

  1 2 3 4 5
松山 G G G G P
竹内 G G     G
梅田 C G     C

この条件で残った2列を埋めることになります。

梅田君はチョキを2回出すだけですから、グーかパーを出すことになります。また梅田君と竹内君はおなじものを1回しか出しませんから梅田君がグーなら竹内君はパー(これは条件からあり得ません。)梅田君がパーなら竹内君はグーとなります。

  1 2 3 4 5
松山 G G G G P
竹内 G G G   G
梅田 C G P   C
 

これは竹内君が負けたことはないという条件に反します。

従って5列目の梅田君はパーかチョキを出したとすると、条件(オ)より、竹内君はチョキはグーを出すことになります。しかし梅田君がパーの時に竹内君がグーを出せば負けたことになりますから、条件(ウ)に反します。したがって竹内君はチョキを出したことになります。

  1 2 3 4 5
松山 G G G G P
竹内 G G     C
梅田 C G     P

列3と4で引き分けを一回作るようにします。

条件より竹内君と梅田君は1回しか同じものを出していませんから、ここで使えるのは梅田君がグー、チョキ、パーが使えて、竹内君が梅田君と同じものにならないようにしてグーとチョキが使えます。

梅田君がパーの時には、竹内君が一度も負けていませんから竹内君は必然的にグーではありません。チョキですね。

  1 2 3 4 5
松山 G G G G P
竹内 G G C   C
梅田 C G P   P

もう一度この3人の組み合わせが使えそうですがそうすると引き分けが3回になってしまいます。

したがって残りの4列は梅田君の可能性としては、グーかチョキです。グーだとすると竹内君が負けてしまいますから、ここは梅田君はチョキです。そして竹内君はグーとなります。

  1 2 3 4 5
松山 G G G G P
竹内 G G C G C
梅田 C G P C P

ずいぶんとたくさんの表をかきましたが、こういう場合が重要になってくる問題は、面倒をいとわずにコツコツと書く場合を順にやってゆくに限ります。

頭の中で考えて、一足飛びにきれいな答えをかこうとすると、混乱してしまうことが多いのです。



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