三次元方程式

レベル:大学入試

こんにちはみなさんお元気ですか。数学担当のぎよろめです。暑くなってきましたね。健康に気を付けて頑張ってくださいね。 しばらく中学入試問題ばかりやってきましたから、今日は大学入試問題をやってみましょう。

 

早稲田大学理工学部入試問題
  問題

3次方程式 x³-3x+1=0 ・・・・・・(*)について以下の問いにこたえよ。

(1)(*)の解で1より大きなものはただ一つであることを示せ。

(2)(*)の解で1より大きなものを a として b=a²-2、 c=b²-2 とする。この時 c<b<a となることを示せ。

(3)b, c は (*)の解であることを示せ。



解決への道筋

2次方程式までは具体的に解が簡単に書けますから、書いてみれば様子がわかりますが、 3次以上の場合にはそうそう簡単にはゆきません。そんな時はグラフを書いてみると解の分布などがわかりやすくなりますね。

 

【解説】

では、与えられた方程式の微分をしてみましょう。

 y(x)=x³-3x+1 y'(x)= 3x²-3=3(x+1)(x-1) -1

で 山、+1で谷のできる3時方程式のグラフになることがわかります。

こうして根は、-1以下に一つ、-1と+1の間に一つ、+1以上に一つあることがわかりますね。

 したがって、上記の a は最後の解に対応することがわかります。

つまり、 1<a

さてここで、

 y(√2)=-√2+1

であることがわかりますから、グラフは第4象限を動いています。

したがって一番大きな解 a は√2よりも大きいことがわかります。

即ち、      

 b=a²-2 >0

 ここまで準備しておいて,b をもとの方程式に入れると

y(b)= 0

 となることが簡単な計算で分かります。 したがって b も方程式の根です。

同様に、 c も根であることがわかります。

さて準備しておいたことより、b >0 です。

c は最後に残った根ですから必然的に c < 0 です。

即ち、以上のことより、 c < b < a となることがわかります。

 

どうですかみなさん、中学入試と大学入試どちらがむつかしかったですか?

 



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