整数の割り算

レベル:中学

こんにちは、皆さんお元気ですか。数学担当のぎよろめです。

ずっと中学入試、つまり小学校レベルの問題をやってきましたが、どうですか?方程式や文字を使わずに考えるというのも結構苦労するということがお分かりになりましたか? 今日も「数と式」の枠内で、中学入試問題をやってみます。

 

武蔵野中学入試問題
  問題

生徒40人のクラスで、希望者に花の種を同数ずつ配ることにしました。はじめ、希望者に配ったところ、種は全部なくなりました。ところが、希望者が3人増えたので、種を回収して配りなおしました。すると、今度は18粒の種があまり、あと一粒ずつは配れませんでした。この時先生は、「あと3人分はないけれど、2人分なら残っているぞ」と言いました。初めの希望者は何人だったのでしょうか。



解決への道筋

こういう問題を何かスカッと一発で解けないかと漠然と考えていると、いつまでたっても手掛かりがつかめないことのほうが多いものです。まずは、希望者の数と種の数にあたりを付けてみましょう。

 

【解説】

2回目に配った時、18粒の種が余って、それ以上等分に配れなかったのですから、希望者の数は19人以上ですね。

つまり、2回目の時の希望者の数は、19人~40人の間だと考えられます。

したがって1回目の希望者の数はそれから3人を引いた、16人から37人の間です。

次に2回目の時には18粒の種が余って、3人分はないということですから、2回目に配った種の数は一人当たり6粒よりも大きいことになります。

また、2人分ならあるということですから、2回目に配った種の数は一人当たり9粒以下となります。

つまり2回目に配った種の数は、一人当たり、7粒、8粒、9粒のいずれかであったことがわかります。

 

2回目には、3人希望者が増えていますから、その3人に配った種は、1回目の希望者から同じ数だけ減らした種がこの3人に配られているはずです。

したがって、この3人に配った種の合計と余った18粒の総合計が、1回目の希望者から均一に減らしてきた種の数と一致するはずです。

 

2回目に配った数の可能性は、7粒、8粒、9粒でしたから、それぞれの場合を調べてみます。

(1)7粒の場合   

新しい3人の希望者に回された種の数が、21粒、余った種が18粒、総計39粒です。

(2)8粒の場合   

同様にして、総計42粒になります。

(3)9粒の場合   

同じようにして、総計45粒となります。

これらの総計が、1回目の希望者から、同じ数だけ減らしたものになるわけですから、この総計は、1回目の希望者の数で割れることになります。

1回目の希望者の数は、16から37の間でした。

39の約数は、1,3,13,39です。 これらの数のうちには16から39の間に入る数はありません。

42の約数は、1,2,6,12,14,21,42です。 このうち21は16から37の間という条件を満たします。

45の約数は、1,3,5、9,15,45です。 これらのうちで、16から37の間にあるものはありません。

 

結局条件を満たすのは、21です。

1回目の希望者の数は21人です。

 

配った種の数が、7,8,9のいずれかであることはすぐに検討が付きますから、最初の希望者の数を m と置いて、mに関する条件を見つけるようにすると、数式を使わずに頭の中だけで考えているよりもわかりやすくなりますから、やってみるとよいでしょう。

 

次回は大学入試問題をやってみますから楽しみにしていてください。



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