方程式とグラフ(京都大学入試問題)

レベル:大学入試

皆さんお元気ですか、鍋物のおいしい季節となりましたね。

今日は二次方程式とグラフの問題をやってみましょう。

 

京都大学入試問題
  問題

実数 a に対して、二つの放物線、

C(1): y=2-x2

C(2): y=x2  - 4x + a

を考える。C(1),C(2)が y >0 である交点を二つ持つような a の値の範囲を求めよ。


 

【解説】

こういう問題を扱う時にはなるべく正確に図を描いてみることですね。図を見ていると何かわかってくるはずです。

方程式とグラフ(京都大学入試問題)|数学|ルシディチュード―灯台教養学部

C(1)とC(2)の共有点は図の二つの放物線の交点ですから、           

(交点のy座標)>0

ということは、             

-√2 <(交点のx座標)< √2

と同じことであることがわかりますね。

つまり、

yを消去して得られる2次方程式の解xがこの条件を満たせばよいことがわかります。                

y=2-x2=x2-4x+ a

つまり、                   

2 -2x+(a/2) – 1 =(x – 1)2 +(a/2) - 2=0

グラフは下図のようになりますね。

方程式とグラフ(京都大学入試問題)

もう後は簡単に、根xが                   

-√2 <x< √2

となる条件が求まりますね。

放物線の頂点が負になることと  -√2 ,√2 における放物線の値が正になることですね。

この放物線の軸が x=1ですから、√2 における放物線の値が正になれば、-√2 における放物線の値が正になりますから(なぜだかわかりますか?)、条件は√2 における放物線の値を確かめれば十分です。

すると、                   

4√2 - 2 < a < 4

が出てきます。

 

どうですか皆さん、図形を描くことの楽しさ、体感できましたか?



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