図形の面積

レベル:中学

こんにちは、みなさん、数学担当のぎよろめです。今回は、図形の問題を考えてみましょう。

 

ラ・サール中学入試問題
  問題           

長方形ABCDの辺BCとCD上に点P, Qをとります。 DP:PC=2:3 の比にとりました。すると三角形APDの面積が7cm, 三角形PQCの面積が3 cmでした。 この時に真中の三角形APQの面積を求めよ。

    

ルシディチュード―灯台教養学部



解決への道筋

1.いっぺんに解こうとせず、まず全体を眺めましょう。

2.すると、三角形が4つ目に飛び込んでくるはずです。その4つの三角形のうちの一つが面積を求めるべき三角形であることがわかります。

3.4つの三角形の全体は、一つの長方形ですね。長方形は、簡単に面積が求まりますから、その長方形を利用してみましょう。

公式にとらわれないこと!

 

【解説】

これはラ・サール中学の入試問題です。

高校生の人は、三角形の面積ですから3辺AP,PQ,QAの長さを求めてヘロンの公式を使うのかなと思う人もいるかもしれませんね。

でも落ち着いてもう一度図形を眺めてみましょう。 真ん中の三角形ばかりに気を取られずに全体を眺めてみると、長方形の中に3個の三角形があり、その真ん中にある三角形の面積を求めるわけですから、長方形の面積(これは簡単に求められますね。)から、問題となっている三角形を除いた他の三角形の面積たちをひいてやれば答えが出てくることがわかりますね。

 

Pの位置は既に問題の中で決まっていますから、Qの位置を決めてやれば問題は解けますね。 それでは長方形の辺の長さとQの位置を求めましょう。

DP:PC=2:3ですから、DCの長さをaとして、

DP=(2/5)a、PC=(3/5)a 

としたいところですが、こうして分数が入ってくると後々の計算が面倒になることが多いので、

DC=5a として、DP=2a、 PC=3a とおきます。

ですから辺DCの長さは5a となります。

すると三角形APDの面積は、

2a × 高さ AD ×(1/2)=7

ADは今のところわかっていませんから、この方程式から、

 a × AD =7 AD = 7 / a

となります。

同じように三角形QPCの面積から、

3a × QC × (1/2) =3 QC = 2/a

したがって、

BQ = BC - QC = 7/a - 2/a =5/a

三角形ABQの面積は、

(1/2)AB × BQ = (1/2) ×5a ×(5/a)× 25/2

ここで長方形ABCDの面積は、

5a × (7/a)=35

したがって三角形AQPの面積は、

△APQ = 35 - (7+3+12.5)=12.5

 

これで問題は解決しました。 しかし、試験場で時間が限られているときは別ですが、みなさんが自分で問題を解いている時には、ここで満足してやめてしまわないことです。

問題を説いているときにわかったことは、aの値が決まらないことですね。

つまり辺DC上に2:3で点Pを決めれば、あとは、三角形ADPの面積=7、三角形QCPの面積=3となるようにとれば、長方形の面積も、真ん中の三角形(したがって左下の三角形)も常に同じ値を取るということです。

与えられた問題を解くだけではなく、常にこうしていろんな角度から考えておくと、数学の実力もつき、面白くなっていきますよ。

とらわれずにいろんな方向から考えてみることの大切な例をもう一つ上げて今日の授業は終わりにします。

 

不思議の国の・・・?

下記の正方形を見てください。

8×8=64 の面積の正方形です。これを図にあるように4つの部分に切ります。その切った三角形を数のように並べ替えます。

今度は長方形になりました。 したがってその面積は、5×13=65 となりました。

並べ替えただけでその面積が64から65に変化してしまいました。

金の延べ棒やチョコレートの板なら、うれしい話ですが、それにしてもこの現象はなぜ起こるのでしょうか? どこでこうした間違いが入り込んだのでしょう?

 

このトリックは、『不思議の国のアリス』を書いた、ルイスキャロルが考えたといわれています。

 



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