図形問題、その実組み合わせ問題

レベル:中学

皆さんこんにちは、数学担当のぎよろめです。お元気ですか。

ここしばらく何回か「論理、組み合わせ、確率」の問題が続きましたから、今日は図形の問題を考えてみましょう。 といっても、結局数学はもちろんのこと私たちが思考をする上で(フィーリングで分かったような気になって済ませてしまう場合は別にして・・・)論理や数といったことを抜きにしては進むことができませんから、みなさん、「なあんだ、やっぱり論理と数か」と思うのかもしれませんね。

 

海城中学入試問題
  問題           

下の図のA,B,C,Dの領域の境界がはっきりするように色で塗り分けることにしました。色は、赤、白、黄、青の4色を使います。この時全部で何通りの塗り方がありますか?この時、たとえば、AとDを赤で塗って、Bを白、Cを黄で塗れば隣り合っている部分は違う色となりますから、可能な塗り方とします。

    

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解決への道筋

こういう問題は、方針を立てずにやると次第にこんがらかってしまい、重複したり、数え落としたりして失敗しますから、まず図形をよく眺めて方針を立てます。図形を見ているとCはほかのすべての領域と接していますから、ここで使った色は、他の領域では使えなくなるということがわかりますね。

 

【解説】

使える色は、赤、白、黄、青の4色ですから、Cを塗るのに使える色は4通りです。

まず、Cを赤で塗ったとしましょう。 すると残りの領域、A、B、Dは赤以外の色を使わなくてはいけません。 AとBは接していますから、異なった2色が必要です。 白、黄、青の3色から2色を選ぶ選び方は3通りです。

ここで3色のうち2色を使ってしまうわけですが、残った領域DはCと境を接しているだけですから、AとBとの領域には共通の境界はありません。

したがって、Cに使った赤以外の色はDではすべて使うことができます。

したがって、色の組み合わせの数は、 AとBで使える色の組み合わせ=3通り Dで使える色=3通り Cで使える色=4通り 色の組み合わせの数は、

総計=3×3×4=36通り。

...とすると、少し見落としていますね。

AとBの領域で使った2色については、入れ替えてもよいので、ここで二通りの色の使い方が増えます。

 したがって、総計は、さらに2倍して、

色の塗り方の数=36×2=72

 

どうですか、皆さん? 論理と数と組み合わせは常に私たちの思考の中に入ってくるということが実感できましたか?

 



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