三角形の相似(レベル:中学)|数学|ルシディチュード―灯台教養学部“すべての人の灯台としての教養を”

三角形の相似

レベル:中学

こんにちは、皆さんお元気ですか。数学担当のぎよろめです。 しばらく中学入試の問題が続きましたから、退屈している人もいるかもしれませんね。 今日ももう一度中学入試問題を扱いますが、考え方を変えてみましょう。

 

麻布中学入試問題
  問題

1辺の長さが4センチの正六角形ABCDEFがあります。各辺AB,BC,CD,DE,EF,FA上に、それぞれ頂点A,B,C,D,E,Fから3センチのところにP,Q,R,S,T,Uをとり、これらを結んで6角形を作ります。この時6角形PQRSTUの面積は、もとの6角形ABCDEFの何倍になりますか。分数で答えなさい。

    

ルシディチュード―灯台教養学部



解決への道筋

三角関数を学んで知っている人なら、これは単純な計算問題に過ぎないかもしれません。中学入試前には、三角関数は学びませんから、他の手段も考えてみましょう。 三角形PQBの面積を計算すれば正六角形の面積は簡単に出ますから、もう答えは出たも同然です。

 

【解説】

では、まずは三角関数を使ってやってみましょう。

①三角関数を使う場合

底辺PBは1センチですから、三角形PQBの高さを求めればよいですね。   

Qの高さ=sin(π/3)・BQ= 3(√3/2)

したがって、   

三角形PQBの面積= 3√3/4   

内部の六角形の面積=外部の正六角形の面積ー6×(三角k製PQBの面積) =39√3/2

これを外側の正六角形の面積24√3で割ると、答えは13/16となります。

せっかくこうして三角関数を使うのですから、いっそのこと、辺PQの長さを求めてしまえば、内側の小さな正六角形の面積が直接求まります。

Qから垂線を下してその足をHとすると、

QH=BQsin(π/3) BH=BQcos(π/3)

したがって、

QH=3√3/2 BH=3/2

したがって、ピタゴラスの定理で、

PQ=√13

1辺が√13の正六角形の面積は

39√3/2

したがって外側の正六角形の面積との比は、

(39√3/2)÷(24√3)=13/16

 

では次に、三角関数を知らない場合にはどうやって解くかと考えてみましょう。答えに早く到達することばかりを考えずに、にいろいろとやってみることは大切ですよ。 入試でも人生でも何かの問題にぶつかったら、まず自分の手持ちの手段で解決できるかな?と考えてみる。 いろいろと試してみたらどうもできないという時には、自分の手持ちの手段を広げたり増やしたりしてみることですね。もっともこれはもうすぐテストだと言う人には時間が足りないかもしれません。

問題に戻りましょう。要するに三角形PQBの面積を三角関数を使わずに求められます。

 

②三角関数を使わない場合

まず三角形ABCと三角形OABは底辺の長さと高さが同じですから面積は同じですね。こんな風に六角形を三角形の図形にして考えてみましょう。

したがって、   

三角形ABCの面積=三角形OABの面積   

三角形ABCの面積:三角形ABQの面積=4:3

次に、三角形ABCと三角形ABQは底辺は同じでも高さが違います。高さはそれぞれQHとCKです。これは三角形BQHと三角形BCKが相似であることを考えれば、   

BQ:BC=QH:CK=3:4

となりますから、

三角形ABCの面積:三角形ABQの面積=4:3

次に三角形AQPと三角形PQBを比較してみると、これは高さが同じで底辺の長さが違います。 したがって、

三角形AQPの面積:三角形PQBの面積=3:1

これをもとに面積を計算します。

正三角形の面積の求め方も知らないと仮定してこの面積をMとしておきます。すると三角形ABCの面積もMです。三角形AQBの面積は高さの比を考えれば、   

(3・4)M 三角形PQBの面積は三角形AQBの面積の1/4

です。 したがって求める比は、   

{M-(3/16)M}/M=13/16

どうですか、工夫すれば三角関数を使わなくてもできましたね。



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