方程式と論理

レベル:大学入試

皆さんお元気ですか。次第に年末が近づいてきますね。クリスマスはきっと楽しい思い出がいっぱいあるんでしょうね。

今日はやっぱり整数の問題をやってみましょう。

 

小樽商科大学入試問題
  問題

方程式 x3 - 3x – 1 = 0 の解αにたいして次の事柄を示せ。

(1)α は整数ではない。

(2)α は有理数ではない。

(3)α は p + q √3 (p、q は有理数)の形では表せない。


 

【解説】

どうですか皆さん何か方針がたちましたか?

整数の問題だから、整数的に解こうと思わなくても、グラフをかいてみてもいいのですよ。

とにかくやってみましょう。

Y' = 3x2 – 3 = 3 (x + 1 ) ( x - 1 )

x   -1   +1  
y' + 0 - 0
y 1 -3

グラフは次のようになりますから、根は、 -2 と -1 の間、-1 と 0 の間、  1 と 2の間にあることがわかりますから、整数ではありませんね。

方程式と論理(レベル:大学入試)|数学|ルシディチュード―灯台教養学部

y(-2)=-3

y(2)=+1

に注意します。

このやり方だと苦しいのが、このやり方では有理数かどうかまではわからないんですね。

 

別の方法でやってみましょう。

方程式 x3 - 3x – 1 = 0 を書き直してみると、

x3 - 3x =1

と書けますね。

因数分解すると、

x(x2 - 3) = 1

と書けます。 x が整数とすると、右辺が1ですから、+1 か -1 でしかあり得ませんね。ところが、 +1も-1も方程式を満たさないのはやってみるとすぐわかりますから、要するに整数解が存在しないことがわかります。

 

次に(2)のαは有理数ではないというのをやってみましょう。直接αが無理数であるということを証明する手段があればいいのですが、そんなものはなかなかありませんから、例のごとく背理法で、もしも有理数ならばとやって矛盾を出すという手段でやりましょう。

α=n/m

と置いて、n,m は整数で、n,m は公約数を持たないと仮定します。これをもとの方程式に代入します。すると、

(n/m)3 - 3(n/m) -1 = 0

となりますから、分母を払うと、

n3  -3nm2 -m3 = 0

このままでもmがnを割り切ることがわかりますが、わかりやすいようにmを含む項を右辺へ移してみましょう。すると、

n3= 3nm2 +m3 (3nm + m2 )m

これで、mが n3を割り切ることがわかります。従ってmがnを割り切ることがわかります。(なぜだかわかりますか?)

最初の仮定に反しますね。

 

さてそれでは最後に(3)をやってみましょう。

(3)も全く同じ方法でやりましょう。

α = p + q √3 (p、q は有理数)

と置きます。

ここで注意するのは、

p + q √3 (p、q は有理数) = 0

となるのは、p=q=0の時だけです。これは複素数の時と同じですね。

( p + q √3 )3 - 3( p + q √3 ) - 1 = 0

3乗ですから大したことはないので、分解して√3  を含む項とそうでない項とを整理します。すると、

p3 + 9pq2 – 3p -1 + ( p2 + q2 – 1) q√3 = 0

上で注意したことより、

p3 + 9pq2 – 3p -1 = 0

( p2 + q2 – 1) q =0

が出てきます。ここで、下の等式より、 ( p2 + q2 – 1) =0または、q=0ですが、q=0ですと、αが有理数になりますから、(2)で証明したことに矛盾します。したがって、

( p2 + q2 – 1) =0

が出てきます。つまり、

q2 =1- p2

となることがわかりますから、これをもう一つの式の中のq2 に代入してみます。すると、

p3 + 9p(1- p2 )– 3p -1 = 0

整理すると、

8 p3 – 6p - 1 = 0

( 2p )3 - 3( 2p) – 1 = 0

つまり、2pが最初の方程式を満たしていることになりますね。pが有理数ですから2pも有理数です。 これは(2)で証明したことに反します。

これで問題の証明が終わります。

 

p + q √3 (p、q は有理数) の全体が有理数を含むもう一段階大きな集合を構成しているのですが、その集合の数論が次第に発展して現代の代数体の理論となりました。

興味のある人は先日ご紹介した高木貞治の『初等整数論講義』を読んでみるとよいと思います。

  ぎょろめおススメ本

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