関数と微積分

レベル:大学入試

皆さんお元気ですか?だいぶ朝夕は冷えるようになってきましたね。風邪をひかないようにして元気に頑張ってくださいね。

今日は有名な岡潔先生のいた奈良女子大学の入試問題をやってみましょう。

岡先生の論文集はなかなか素敵なのですが、あれを読むには予備知識の習得が大変ですから、とりあえず岡先生の随筆をお勧めしておきます。

ぜひ読んでみてください。日本とは何か、自分は何かということを考えるきっかけになるかもしれませんよ。

 

奈良女子大学入試問題
  問題

微分可能な関数 f(x) 把等式               

f(x)= - e-x - ∫ f(t)dt

を満たすとする。

(1)g(x)= ex f(x) とすると、 g’(x)=1 であることをしめせ。

(2)f(x)をもとめよ。

(3)f(x)の最大値を求めよ。


 

【解説】

(1)と(2)がなくて、いきなり(3)が出てくると苦労するのかもしれませんね。

でも素直に、(1)、(2)、(3)と進んで行けば何の問題もありませんね。

やってみましょう。

皆さんは連続関数や微分可能な関数を積分(不定積分)するとそこに出てくる関数は微分可能だということを証明できますか?

自分でやってみるといいですね。

こういう試験の中ではもちろん仮定してしまってもいいでしょう。

 

(1)g’(x) を求めるには微分の積の公式を使いましょう。

g’(x)=ex f(x) +ex f '(x) となります。ここで、

f’(x)= e-x- f(x)

となりますから、

g’(x)=1

となります。すなわち、

g(x)=x+C   ここでCはある定数です。

f(x)= e-x g(x)=(x+C) e-x

f(x)の定義の式より、f(0)の値がわかりますから、それを使って定数Cを決めることができます。

f(0)=-1=C

即ち、

f(x)=(x-1) e-x

さて最後にf(x)のグラフを考えてみましょう。

指数関数は多項式よりも大きく増減しますから、xが+∞へ向かう時にはf(x)はゼロに近づくことがわかります。-∞へ向かう時には、このばあい関数xの符号はマイナスですから、-∞へ向かいます。

f’(x)=(2-x) e-x

f’(x)=0

となるのは x=2 だけです。つまりx=2で極値を取ってその後は単調に減少してゆきます。

    2  
f'(x) + 0 -
f(x)   e-2  

グラフは次のようになりますね。

関数と微積分|数学|ルシディチュード―灯台教養学部

最大値は e -2 です。

どうですか皆さん、すこし受験数学らしくなってきましたか?



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