関数とグラフ

レベル:大学入試

皆さんお元気ですか?天高く馬肥ゆる秋、おいしいもの食べて頑張っていますか?

今日はスタンダードな問題をやってみましょう。

 

東京大学入試問題
  問題

関数 f(x)=x3 – 2x2 – 3x +4 の、区間 -7/4 ≦ x ≦ 3 での最大値と最小値を求めよ。


 

【解説】

計算が面倒なくらいで何の問題もないという印象を受けますね。事実そうなんです。やってみましょう。

x3の係数が正ですから、左下から右上に上ってゆくふつうの3次式のグラフですね。

f’(x)= 3x2 - 4x – 3

ですから、

    α   β  
f'(x) + 0 - 0 +
f(x)    

ここでαとβは、上記の微分の二つの根です。

α=(2 - √13)/3

β=(2 + √13)/3

です。

グラフをかくと、次のようになります。

関数とグラフ|数学|ルシディチュード―灯台教養学部

問題は、このαやβ、あるいは与えられた区間の端のところでf(x)がとる値が、√13を含むために、簡単に計算できないところです。そこでひと工夫しなくてはいけないというのが、出題者の意図なのでしょう。

x=αで最大になるのは簡単にわかりますが、最小のほうは f(-7/4)=-143/64 とf(β)の値を比較しないと決められません。

つまり、

f(β)=(38 – 26√13)/27 と f(-7/4)=-143/64 の大小を決めなくてはいけません。

√13 =3.60・・・ を知っていれば簡単な計算だけで済みますが、それでは多分出題者は点をくれないでしょうね。

じゃあどうするかですが、こういう比較はルートの根号が邪魔ですから、二乗すれば根号は消えますね。

マイナス記号があると計算の邪魔になりますから、両方からマイナスを取って計算しましょう。

すると、

(26√13 ‐38)/27 と 1143/64 の比較です。分母を払うと、

3861 と 1664√13 – 2432 の比較ですから、両方に 2432 を足すと、

6293 と 1664√13 の比較になります。

どっちが大きいかを知ればいいので、少々荒っぽい

3 < √13 < 4

を使ってみると、

4992 <  1664√13 < 6656

ですから、6293 との比較にはうまくゆきません。

3  < √13 < 3.7 くらいでやってみましょう。

すると、

4992 <  1664√13 < 6156 となりますから。  6293 との比較に役立ちました。

1664√13 < 6293 です。

これでめでたく、最大と最少がわかりました。

 

どうですかみなさん手持ちの手段で工夫するということの楽しさ、わかってきましたか?



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