関数とグラフ

レベル:大学入試

皆さんお元気ですか? 紅葉にはまだ少し早いのでしょうか?

今日は、微積分を習うとよく出てくるスタンダードな問題をやってみましょう。

 

関西学院大学入試問題
  問題

関数 f(x) = (2x – 1 )/( x2 + ax + b ) について、

(1)f(x)が最大値と最小値を持つときに、a と b との間に成り立つ関係を求めよ。

(2)f(x)の最大値が 1、 最小値が -1 の時に a,b の値を求めよ。


 

【解説】

x2 + ax + b =0 が実根を持つときには、その実根が x=1/2 の場合には、f(x)の分母と分子が通約できて、f(x)=2/(x + c) の形になりますから、f(x) は最大も最小も持ちませんね。

その実根が 1/2 ではない時には、その実根を一つとって、その両側から x を近づけてやると、分子は0ではなくて、分母は、+0, -0 いくらでも近づけられますから、f(x)はやはり最大も最小も持ちません。

以下、 x2 + ax + b =0が実根を持たないとしますと、f(x)のグラフが次のようになることは習いましたね。

関数とグラフ(関西学院大学入試問題)|数学|ルシディチュード―灯台教養学部

ここで、α と β はf’(x)=0 の根です。 x が プラスまたはマイナスの∞へ行く時には f(x)は+0 あるいは -0に収束しますから、最大でも最小でもありません。

f(x)はαで最小値、βで最大値を取ることがわかります。

従って、(1)の答えは、x2 + ax + b=0が実根を持たないということであることがわかりますね。つまり、

a2 - 4b < 0

 

(2)に移りましょう。

αとβは、f’(x)=0 の根ですから次のようになります。

α ={1 - √1 + 2(a + 2b)}/2     

β ={1 +√1 + 2(a + 2b)}/2  

ここからf(α)、 と f(β)を計算して、

f(α)=-1

f(β)=1

からa,b を求めます。

さて、 f’(x)を計算してみましょう。

f’(x)={2(x2 + ax + b) -(2x – 1)(2x + a)}/( x2 + ax + b)2

αとβは、f’(x)=0の根ですから、αとβでは、

2(x2 + ax + b) -(2x – 1)(2x + a)=0

が成り立ちます。すなわち、

2(x2 + ax + b) =(2x – 1)(2x + a)

ですから、

f(x)=(2x – 1 )/( x2 + ax + b ) =2/(2x + a)

であることがわかります。

これでだいぶ計算が楽になりましたね。

最小値 f(α)=-1

最大値 f(β)=1

ですから、ここに上で求めてある α と β の値を入れます。

まず根号をそのままにしておいて、根号だけを右辺に持ってくると、次のようになります。

1 – a =√1 + 2(a + 2b)

3 + a =√1 + 2(a + 2b)

右辺は同じ値ですから、ここから

1 – a = 3 + a

従って、

a = -1

これを上の、

1 – a =√1 + 2(a + 2b)

に代入すると、

5=4b

が出てきて、

b=5/4

最後のところも、根と係数の関係を使ってもっと簡単な計算で、と思う人もいるかもしれませんがこれくらいの計算は、すらすらできたほうが良いですね。

 

数学史上の巨人であるオイラーやガウスなどは私たちの時代の目からすると無駄とも思えるような計算をして楽しんでいましたね。

数や式をいじっているのが楽しいと言う人は、ガウスやオイラーの本を読んで見るといいですね。いくつか挙げておきますね。

  ぎょろめおススメ本

Disquisitiones Arithmeticae...

ガウスのこちらの本は原典通りラテン語でプリントされています。日本語訳は以下です。

ガウス 整数論 (数学史叢書)


こちらのオイラーの本ももともとは原典はラテン語で書かれていますが、フランス語版が出版されています。

Oeuvres Complètes En Français


オイラーのほうは The Euler Archive 【 http://eulerarchive.maa.org 】のサイトから英訳されている物はプリントアウトできます。



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