関数とグラフ

レベル:大学入試

皆さんこんにちは。お元気ですか。読書の秋がやってきましたね。皆さん自分の好きな本見つけて読んでいますか?

今日はすこしクラシックですが、ぎょろめ先生の好きな本を一冊ご紹介しておきます。こんな本を慌てず急がず楽しみながら批判的に読むと人間的な力がつきますよ。

物思いにふける秋ということで、物思いにふけることのできる問題をやってみましょう。

 

筑波大学入試問題
  問題

f(x)=x3 -(3/4)x とするとき、

(1)f(x)の区間 [-1,1]における最大値、最小値、およびそれらを与えるxの値を求めよ。

(2)x3 の係数が1である3次関数g(x)が区間[-1,1] で、 |g(x)|≦ 1/4 を満たす時、g(x)-f(x) は恒等的に0であることを示せ。


 

【解説】

f(x)=x3 -(3/4)x のグラフは、微分して極値を求めれば簡単に書けますね。

    -(1/2)   1/2  
f'(x) + 0 - 0 +
f(x) 1/4 - (1/4)

関数とグラフ(筑波大学入試問題)|数学|ルシディチュード―灯台教養学部

従って、最大値は 1/4、 最小値は -(1/4)

それに対応するxの値は、

最大値の場合に、x=-(1/2), 1

最小値の場合に、x=1/2, -1

であることがわかります。

 

(2)のほうは何かわかりにくい表現がしてありますが、要するに x3の係数がf(x)と同じ時に3次曲線が下記の長方形の中を通れば、必然的に f(x)=g(x) ということですね。

関数とグラフ(筑波大学入試問題)|数学|ルシディチュード―灯台教養学部

やってみましょう。

上記のPとQを結ぶ3次曲線があんまり変な曲線ではない限り(そして3次多項式の曲線ですから、変なことは起こらない曲線です。)点PからQまで行く間に、最低3か所で曲線f(x)と交わることがわかりますね。

 

この辺も本当に3か所で交わるのかなあと考え始めると、そうそう簡単ではない難しい問題が出てきますから、ここは素直に、最低3か所で交わるのは見れば明らか(!)としておきましょう。

この辺について少し深めてみたい人は解析学の入門書を読むと書いてあります。 一冊挙げておきますね。

さて問題に戻りましょう。

f(x)とg(x)が最低3か所で交わるということは、f(x)-g(x)=0 が最低3個の根をこの区間内で持つことを意味しますね。

ところが、f(x)とg(x)は3次の係数が同じく1ですから、このf(x)-g(x)は2次以下の多項式となります。

n次の多項式は、n個の根しか持ちませんから、f(x)-g(x)は恒等的に0であることがわかります。

 

それでは皆さんごきげんよう。



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