整数と方程式

レベル:大学入試

皆さんお元気ですか。朝夕はすっかり涼しくなってしまいましたね。風邪をひかないようにして頑張ってくださいね。

例の1+2+3+・・・・+100を求める問題で先生を驚かせたという逸話の残っている少年ガウスですが、彼がのちに「数論は数学の女王」といったと伝えられています。

今日は整数の問題を扱ってみましょう。

 

同志社大学入試問題
  問題

0 < x ≦ y ≦ z である整数x、y、zについて以下の問いに答えよ。

(1)xyz + x + y + z = xy + yz + zx + 5 を満たす整数 x、y、z を全て求めよ。

(2)xyz=x+y+z を満たす整数x、y、zを全て求めよ。


 

【解説】

x、y、zが全部0よりも大きいので範囲がずいぶんと制限されますから、比較的簡単にできますね。

こういう問題は何かきれいな公式や理論を知っていて、それを使うとガウスのいうように美しい数論的な世界が展開されると思ってぼんやり眺めていてもなかなか解答はえられません。 紙と鉛筆をもってやっみるということですね。

(1)からやってみましょう。

(x-1)(y-1)(z-1)=xyz – xy – yz – zx +x + y + z -1 であることに注意すると、

(x-1)(y-1)(z-1)=4

となることがわかります。 すると、

0≦x-1≦y-1≦z-1

ですから、x-1、y-1、z-1 の可能性がすぐに見つかります。

(x-1、y-1、z-1)=(1,1,4) または (1,2,2)

従って、

(x、y、z)=(2,2,5) または (2,3,3)

どうですか、簡単に出てきましたね。

 

(2)の場合も簡単です。

x、y、zのうちでzが一番大きいので、

xyz=x+y+z ≦3z

従って、

xyz ≦ 3

zxy ≦ 3

ここでzが真に正の整数であることに注意します。

xは0ではありませんから、xの可能性は1のみです。

x=1 の時には、yの可能性は、1または2または3です。

x=1、y=1とすると、最初の方程式より

z=1+1+z

これは矛盾です。これを満たすzは存在しませんね。

次にx=1、y=2を調べましょう。この時上の方程式より、

2z=1+2+z

従って、

z=3 x=1、y=3 

とすると

3z=1+3+z

2z=4

z=2

これはx、y、zに関する不等号に反します。

従って、

(x、y、z)=(1,2,3)

 

どうですか?面倒がらずにやると、きれいな式ができて、楽しいものです。

 

 そうそうさっきのガウスと並んで数学史上不世出の天才といわれたガロワとアーベルについては彼らの論文の邦訳が本になっています。

全部理解するのはむつかしいかもしれませんが、ぱらぱらと気楽に読んでみるとなかなか楽しいものがありますよ。

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