整数と論理

レベル:大学入試

皆さんお元気ですか。天高く馬肥ゆる秋。おいしいものをたんと食べて元気にやってくださいね。

このところ中学入試が続きましたから今日は再び大学入試をアタックしましょう。

 

神戸大学入試問題
  問題

pを3以上の素数、a,b を自然数とする。以下の問いに答えよ。

(1)a+b, ab がともにpの倍数である時、a,b はpの倍数であることを示せ。

(2)a+b, a2 + b2 がpの倍数である時、a,b はpの倍数であることを示せ。

(3)a2 + b2 、a3 + b3 がp倍数である時、a,b はpの倍数である。


 

【解説】

どうですか皆さん、これくらいですと中学入試くらい簡単だと思うでしょう。

頭を整理してやらないと混乱するかもしれませんね。 .

ab がpの倍数である時にはa あるいはb がpの倍数であるときことはわかりますか?

これもきちんと証明したほうが良いので皆さん自分でやってみてください。というか自然数や整数の基本的な性質ですね。

要するに任意の数が素因数に一意的に分解されることの基本ですね。

そんなこと当たり前だろうと思う人があるかもしれませんが、そうした素因数分解が一意的に成り立たない数の世界もあるんですよ。

 

(1)ab がp(素数)で割り切れるということは、上記のことよりa あるいはb がpの倍数であることがわかります。

a がpで割り切れて、a+b がpで割り切れれば、bもpで割り切れますね。

わかりますか?

同じようにbがpで割り切れる時にも証明できます。

 

(2)(a+b)2 - ( a2 + b2 ) = 2ab であることに注意すれば、2ab がpで割り切れることがわかります。

今pは2ではありませんから、ab がpで割り切れます。

今仮定より a+b はpの倍数ですから、これで(1)の場合に帰着できましたね。

 

(3)( a2 + b2 )(a+b)- ( a3 + b3 )=ab (a+b) となりますから、仮定より ab (a+b) がpで割り切れることがわかります。

つまり、次の二つの場合が起こります。

(1)ab がpの倍数。

(2)a+b がpの倍数。

(1)の場合には、問題の最初に扱った場合で、a,b の代わりに、a2  b2  を使えば、a2 、 b2  がpで割り切れることがわかりますから、結局 a, b がpで割り切れることがわかります。

(2)の場合には、

 a2+ 2  と (a+b) がpで割り切れることがわかりますから問題の(2)の場合に帰着できます。

 

どうですか皆さん、頭の中で論理的に場合を整理してやるという練習ができましたか?



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