整数と論理

レベル:大学入試

皆さんお元気ですか。少し冷えてきましたね。

今日も整数の問題をやってみましょう。

 

岡山大学入試問題
  問題

f(x)=ax3 + bx2 +cx は、x=1, x=-1, x=-2 で整数値           

f(1)=r, f(-1)=s, f(-2)=t

をとるとする。

(1)a,b,c を、r,s,t の式で表せ。

(2)すべての整数nについて、f(n)は整数になることを示せ。


 

【解説】

(1)は具体的に書いてみると、単なる一次の連立方程式ですから、こつこつやれば簡単にできますね。そんなに複雑な計算も出てきません。

f(1)=a + b + c =r

f(-1)= -a + b -c =s

f(-2)= -8a + 4b – 2c = t

簡単ですから皆さん自分で解いてみてください。答えが、

a = (r + 3s -t)/6

b= (r + s )/2 c = (2r – 6s + t)/6

 

さて、(2)をやってみましょう。

f(x)=ax3 + bx2 +cx  = {(r + 3s -t)/6}x3  + {(r + s )/2}bx2  + { (2r – 6s + t)/6}x

これをr、 s、 t の式としてまとめてみます。

すると、

 {x(x+1)(x+2)/6}r + {(x-1)x(x+2)/2}s – {(x-1)x(x+1)/6}t

となります。

r、s、tは整数でしたから、それらの係数が整数なら、xが整数の時、f(n)が整数になるのがわかりますね。

ここで注意するのは、n(n+1)(n+2) は連続する3つの整数の積です。

これが常に6の倍数になることがわかりますか?皆さん自分でやってみてください。

(n-1)nは連続する二つの整数の積ですから、必ず2の倍数になりますね。なぜだかわかりますか?

皆さん自分で考えてみてください。

(n-1)n(n+1) も連続する3つの整数の積ですから、6の倍数です。

これでr、s、tの係数がすべて整数であることがわかりました。

つまり、任意の整数に対して、f(n)は整数になることが証明できました。

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