整数と論理

レベル:大学入試

皆さんお元気ですか? まつたけごはん、栗ご飯と秋の味覚が出始めましたね。

今日もガウスのいう数学の女王数論の問題をやってみましょう。

 

慶応義塾大学入試問題
  問題

a,b は正の整数とする。√3 は a/b と (a+3b)/(a+b) の間にあることを証明せよ。


 

【解説】

これを読んですぐに、

a/b <  √3  < (a+3b)/(a+b)

を証明しようと始めてはいけませんよ。a/b と (a+3b)/(a+b) のどちらが大きいかわかってはいませんからね。

第一 a,b の取り方によってはどちらも大きくなりますね。つまり、

(a+3b)/(a+b) <  √3  < a/b

も起こるのです。

皆さん自分で確かめてみてください。

これを別々に扱うと時間もかかり面倒ですから、ひと工夫します。

S <  √3  < T

あるいは、

T <  √3  < S

を言うのには、

(S - √3) (T - √3) < 0

が言えればよいですね。(なぜだかわかりますか?)

計算してみましょう。

(a/b - √3) {(a+3b)/(a+b) - √3} = (a -√3b)2(1 - √3) / (a + b)b < 0

 

なんだか簡単で皆さん物足りなくなったかもしれませんから、次回はもう少し骨のある問題をやってみましょう。



数学TOPへ


ABOUT US

ルシディチュード―灯台教養学部へようこそ。このサイトは、一般教養を学べる無料オンラインサイトです。Luciditude ルシディチュード= Lucid (明晰な、明快な)+ -(i)tude(状態、性質)。“すべての人の灯台としての教養を”をコンセプトに、大人も子どもも、ご家族みんなで、わかりやすく幅広く学べる一般教養をご紹介します。同時に、キャリア形成に役立つ能力開発についても発信します。雑談知識のインプット、生涯学習としてご活用ください。数学と英語は受験問題と解説を掲載しています。受験生はもちろん、受験生でない皆さんもぜひチャレンジしてみてください。

>>read more