整数と論理

レベル:大学入試

だいぶ冷えてきましたね。皆さん、風邪をひかないようにしてくださいね。夜食は温かいラーメンを食べると体が温まりますよ。

今日はいつもよりもう少し面倒な問題をやってみましょう。

 

立命館大学入試問題
  問題

3つの実数α、β、αβ (ただし、α < 0 < β )がある。これらの数は適当に並べると等差数列になり、また適当に並べると等比数列になるという。この条件を満たすようなα、βの組を求めよ。


 

【解説】

どうですか皆さん方針がたちましたか?

まず、a,b,c がこの順に等比数列であるためには、

ac = b2

であることが必要十分です。もちろんここで、a,b,c どれも 0 ではないとしておきます。

これは等比を r≠0 として、b=ar, c=br としてみればすぐに出てきますね。

a,b,c がどれも0ではありませんから、ac = b2 より、

a/b = b/c =r

と置くことができますから、等比rの等比数列であることが出てきます。

等比数列の真ん中の2乗が両側の積に等しいのですから、両側の積は正になります。

α < 0 < β  

より、αβ は負になります。従って積が正になる組み合わせは、αとαβだけですから、これが等比数列の両側になります。

従って最初に考察した等比数列の条件より、

α・αβ=β2

となります。ここで数はいずれも0ではありませんから、

β=α2

が出せました。

次にこれらの数が等差数列であることを使って解答を出します。

等比数列で見たのと同じやり方で、a,b,c 等差数列であるための必要十分条件は、

a+c=2b

です。これの証明は皆さん自分でやってみてください。

β=α2 であることはわかりましたから、与えられた数は、

α、  α2、  α3

となります。

等差数列ですから、マイナスがプラスになってまたマイナスになることはありませんから、プラスの数は最初か最後にしか現れませんね。

従って次の場合が可能な場合です。

(1)α2 が最初に現れる時。        

α2 、α3 、 α

α2 、 α 、 α3

(2)α2  が最後に現れる時。

α3 、 α 、 α2 

α  、 α3 、 α2 

ここで4つの場合が出てきて面倒なようですが、等差数列の真ん中の2倍が両側の数の和になるという条件で見ると二つの場合になります。

α + α2 = 2 α3

α2  + α3 = 2 α

この二つの方程式を解くと、求めるα、βが出てきます。簡単な2次方程式ですから皆さん自分で解いてみてください。

(α、β )=(-1/2, 1/4)   、 (-2, 4)

面倒なようですが、こつこつ場合に分けてやれば、簡単にできましたね。



数学TOPへ


ABOUT US

ルシディチュード―灯台教養学部へようこそ。このサイトは、一般教養を学べる無料オンラインサイトです。Luciditude ルシディチュード= Lucid (明晰な、明快な)+ -(i)tude(状態、性質)。“すべての人の灯台としての教養を”をコンセプトに、大人も子どもも、ご家族みんなで、わかりやすく幅広く学べる一般教養をご紹介します。同時に、キャリア形成に役立つ能力開発についても発信します。雑談知識のインプット、生涯学習としてご活用ください。数学と英語は受験問題と解説を掲載しています。受験生はもちろん、受験生でない皆さんもぜひチャレンジしてみてください。

>>read more