整数と論理

レベル:大学入試

皆さんお元気ですか? だいぶ冷えてきましたね。

今日は整数の問題をやってみましょう。

 

広島大学入試問題
  問題

pを与えられた素数とする。

(1)0以上1未満の分数で、分母がpである既約分数の個数を求めよ。

(2)m、n (m<n)を正の整数とすると、m以上n未満の分数で、分母がpである既約分数の個数を求めよ。

(3)(2)で得られた既約分数の総和を求めよ。


 

【解説】

うーーん、0/p は既約分数とは言わないのですかねえ?

0/p, 1/p, 2/p, ・・・・・・(p-1)/p

p個か(p-1)個ですね。

 

(2)ではm以上(m+1)未満の既約分数で分母がpとなるものの数をまず求めてみましょう。

ここまでくると、m+0/p は分母がpの既約分数とは言いづらいので、(1)でも、0/p を省いておいた方がよさそうですね。

すると、

 m+1/p, m+2/p, ・・・・・、m+(p-1)/p

これをm+1、m+2、・・・・・・・、m+(n-m-1) のすべてについて数えればよいことになりますから、求める個数は、

(p-1)(n-m)

 

(3)m+(k-1)以上m+k未満の分数で分母がpであるものの総和をS(k)と置くと、

S(k)={m+(k-1)+1/p}+{m+(k-1)+2/p}+・・・・・+{m+(k-1)+(p-1)/p}

=(p-1){m+(k-1)} + 1/p{(p-1)p}/2

(p-1)(m-1/2)+(p-1)k

よって求める総和は、

S=S(1)+・・・・・+S(n-m)

=(p-1)(m-1/2)(n-m) +(p-1){(n-m)(n-m+1)}/2 =(1/2)(p-1)(n-m)(n+m)



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