整数と論理

レベル:大学入試

皆さんお元気ですか。すっかり冷えてきましたね。暖かい鍋物でも食べて元気に陽気に頑張りましょうね。

今日は論理を見直してみましょう。

 

関西大学入試問題
  問題

次の命題の真偽を述べよ。また、真である時は証明し、偽である時は反例(成り立たない例)をあげよ。ただし、x、yはともに実数とし、nは自然数とする。

(1)xが無理数ならば、x2とx3の少なくとも一方は無理数である。

(2)x+y、xyがともに有理数ならば、x、yはともに有理数である。

(3)n2が8の倍数ならば、のは4の倍数である。


 

【解説】

反例を一つ上げよというのが数学では結構難しいんですよ。

有名なフェルマの予想が証明されてから久しいのですが、リーマン予想については、いまだ未知ですね。これも証明も反例も出せなくて残っているものですね。

 

(1)は簡単ですね。対偶を使うか背理法を使えば簡単にできますね。(同じことなんですが・・・)

2とx3の両方が有理数なら、x2/x3の=1/x ですから、xは当然有理数になりますね。

 

(2)これはどうなんでしょう。皆さんやってみましたか?

x=-y と置くと、 x+y=0, xy= x2 となりますから、この(2)の主張はどうも怪しいですね。

つまり、 x+y、xy が有理数となるような無理数xを持って来れば、   x+y、xy  が有理数になりますから、この主張は嘘ですね。

例えばx=√3と置けばいいですね。

 

(3)は例のごとく、4の倍数でない数は4k±1、 4k+2と書けますから、これの二乗が8で割れないことを言えばよいですね。

(4k±1)=16k2±8k+1

ですからこれは8では割り切れませんね。

(4k+2)=16k+16k+4

となりますからこれも8では割り切れません。

 

どうですか皆さん、論理的思考の強力さ、体感できましたか。



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