論理

レベル:中学入試

こんにちは、皆さん。頑張っていますか? 数学担当のギョロメです。 今日は、集合ということを頭に置いて考えるとわかりやすい問題をやってみましょう。

 

福岡女学院中学入学試験問題
  問題

40人の生徒に、3問のテストをした結果、得点と人数の関係は下の表のようになりました。ただし、第1問は20点、第2問は30点、第3問は50点です。 また、平均点は44点で、3問のうち1問だけできた生徒は23人でした。アとイはそれぞれ何人ですか。また、第3問ができた生徒は何人ですか。

得点 0 20 30 50 70 80 100
人数 10 8 12 4 3


解決への道筋

出発点は、平均の点数を利用することです。 頭の中で考えているだけではなく、実際に図を描いてみましょう。視覚化することで全てが瞭然となります。

 

【解説】

生徒の全体をU,第1問のできた人の集合をA,第2問のできた人の集合をB,第3問のできた人の集合をCとします。

 

ここで注意することは、たとえば集合Aは、第1問だけができた人の集合ではなくて、第1問ができて第2問あるいは第3問もできた人が含まれているということです。

集合BとCについても同じです。

20点取った人が10人です。

つまり20点獲得するということは、第1問だけができたということですね。

ですから、a=1

同様に30点獲得した人は第2問だけができた人です。

したがって、 b=8

 50点獲得した人については、第1問と第2問ができた人と、第3問だけができた人がいます。このままでは決められませんからしばらく保留にしておきます。

70点獲得した人は、20+50 の組み合わせしかありませんから、第1問と第3問ができた人です。

すなわち、 d=4

80点獲得した人は、30+50 の組み合わせしかありませんから、第2問と第3問ができた人です。

したがって、 f=3

 

さて、条件より平均が44点ですから、アの人数はわからなくても0点ですから平均の計算には影響がありません。

イ=X とおいて平均を計算してみましょう。

20×10+30×8+50×12+70×4+80×3+100×X=44

これをXの方程式とみて解くと、 X=2 となります。

Xは100点獲得した人ですから全部解けた人です。つまり、

g=X=2

さてここで1問だけできた人が23人ですから、上の図で

a+b+c=23

となります。

a=10,b=8

ですから、 

c=5 となります。

これで e 以外は全部求まりました。

 

50点獲得した人の数が12人でこの内訳が決められなくて保留してありました。

50=20+30  あるいは50の二通りです。

したがって、 e+c=12 です。 

c=5 は既に分かっていますから、 e=7 となります。

アは一つもできなかった人ですから、

40-(a+b+c+d+e+f+g) が求めるアとなります。

計算してみると、 ア=1

第3問ができた人の数は、c+d+f+g となりますから、これは計算すると、14です。

 

どうですかみなさん、図に書いてみるとずいぶんわかりやすくなるでしょう。



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