論理と組み合わせ

レベル:中学

こんにちはみなさん、数学担当のぎよろめです。調子はどうですか? 二回連続の中学入試問題となりますから、高校生のみなさんは退屈でしょうか。 今回は、数学好きの人のために、中学入試問題と共に、その問題を少しひねって大学生向きの問題も最後にご紹介しますので、お楽しみに!

 

明星中学入試問題
  問題

ある宝石店では、8個のダイヤモンドを仕入れましたが、この中の2個は偽物が含まれていることがわかりました。偽物を見つけたいのですが、形も大きさも全く同じで見分けがつきません。しかし偽物と本物は重さが違うことがわかりました。重さをはかったところ下記の図のようになりました。この結果から偽物を見つけて番号で答えてください。ただし本物はどれもみな同じ重さで、2個の偽物も同じ重さであることがわかっています。

    

ルシディチュード―灯台教養学部



解決への道筋

1.まず、本物より偽物の方が軽いと仮定して、問題にある天秤の組み合わせの場合が起こるかどうか。

2.次に、本物より偽物の方が重いと仮定して、問題のような天秤の組み合わせが起こるかどうか。

3.出てきた結論がちゃんと問題の天秤の条件を満たしているか、最後に確かめる。

①いっぺんに解こうとせず、問題を細かくわけて考える。 ②自分の思い込みを捨てて、出てきた答えを確かめる。

 

【解説】

最初にまず注意しなくてはいけないのは、 ”偽物だからきっと軽いんだろう” などという先入観で無意識のうちにそう決めつけて考え始めないことです。 問題では、本物と偽物のどちらが重いか軽いかは言っていません。 ですから、二つの場合を考え検討する必要があります。

 

では、まず偽物のほうが軽いとして検討してみましょう。

①偽物の方が軽いと仮定する場合

そうすると天秤で軽いほうが偽物を含んでいることになりますね。偽物の数は全部で二つですから、残りの天秤も偽物を含んでいるとすると、これで偽物は全部になりますから、残りは本物ばかりです。

したがって天秤の両方に偽物が一つずつになりますから天秤は釣り合います。

 以上の考察より(ア)より、右側の天秤の身が偽物を一つ含むことがわかります。したがって、 1,2,3 は本物 、 4,5,6のうちの少なくとも一つは偽物 同様に二つ目の天秤より、右側にのみ偽物が一つあることがわかります。

5,7は本物 2,8のうち少なくとも一つが偽物 1,2,3は本物ですから、8は偽物となります。

さて(ウ)を見てみましょう。 釣り合っていますから、両方の天秤に偽物がひとつずつあるいは両天秤とも全部本物ということになります。 まず、両方の天秤に偽物が一つずつとしてみましょう。 すると、1,2,3,5,7は本物ですから、4,6,8が偽物の可能性があります。 すでに8が偽物であることがわかっていますから、残りは一つです。4,6のうちの一つだけが偽物になりますから、(ウ)の天秤は釣り合わなくなります。

さてもう一つの可能性として(ウ)で両方の天秤のダイアは全部本物とします。すると残った二つである1,8が偽物ということになりますから、1が本物であるという事実に反します。

 結論として、偽物のほうが軽いというのは嘘であることがわかります。

 

次に偽物のほうが重いとして考察してみましょう。

②偽物の方が思いと仮定した場合

(ア)より1,2,3のうち少なくとも一つが偽物です。4,5,6は全部本物です。

(イ)より、5,7のうち少なくとも一つが偽物です。2,8は本物です。 結論として、5は本物ですから7が偽物であることがわかります。

さて、天秤(ウ)を見てみましょう。 7は偽物であることがわかっていますから、今度は天秤が釣り合うためには左側の2,3,4のうちに一つ偽物があることがわかります。2,4は本物であることがわかっていますから、3が偽物です。 結論は、3,7が偽物です。

これはあくまでも偽物があるとして推論してきた必要条件ですから、こうして出てきた結論、3,7が偽物であるということが(ア)、(イ)、(ウ)の天秤の条件を満たすことをチェックしておくことが必要です。

(ア)は3が左側にあるので左側が重い。

(イ)は7が左側にあるので左側が重い。

(ウ)は左と右に一つずつ3と7があるので釣り合っている。 これで問題は解決しました。

 

どうですかみなさん、数学に興味が出てきましたか?

今日は最後に数学をもっと進めてみたいと言う人向きに大学レベルの数学の問題を出しておきます。

 

ぎょろめ先生スペシャル問題
  問題

一つの天秤とn個のおもりが与えられたとする。この時に、この天秤とおもりを使えば、すべての重さNキロをはかることができることを示せ。ここでNは

    

ルシディチュード―灯台教養学部


 



数学TOPへ





ABOUT US

ルシディチュード―灯台教養学部へようこそ。このサイトは、一般教養を学べる無料オンラインサイトです。Luciditude ルシディチュード= Lucid (明晰な、明快な)+ -(i)tude(状態、性質)。“すべての人の灯台としての教養を”をコンセプトに、大人も子どもも、ご家族みんなで、わかりやすく幅広く学べる一般教養をご紹介します。同時に、キャリア形成に役立つ能力開発についても発信します。雑談知識のインプット、生涯学習としてご活用ください。数学と英語は受験問題と解説を掲載しています。受験生はもちろん、受験生でない皆さんもぜひチャレンジしてみてください。

>>read more