数とその性質

レベル:大学入試

皆さんお変気ですか?次第に秋らしくなってきますね。

今日は実数の性質を扱ってみましょう。1980年度のお茶の水女子大の問題です。

 

お茶の水女子大入試問題
  問題

a1, a2, a3, a4, b1, b2, b3, b4 は実数で、

b1 ≧ b2≧ b3 ≧  b4 > 0 とする。  

k ak bk > 0 ,  ∑ ak bk   ≦ 0 (n=1, 2, 3)

ならば、

∑ak > 0  であることを示せ。


 

【解説】

こういう問題は、じっと眺めて頭の中で考えていてもなかなか本質が見えてきませんから、いろいろといじってみることですね。 そのためにはできるだけ目に見てわかりやすいほうがいいのです。新しく記号を導入して書いてみましょう。

 

t1 = a1 b1

t2 = a1 b1 + a2 b2

t3= a1 b1 + a2 b2 + a3 b3

t4= a1 b1 + a2 b2 + a3 b3 + a4b4

 

どうですか? この方が何か見えてきそうではありませんか?

ここで条件を書き直すと、

t1 ≦ 0  

t2 ≦ 0  

t3 ≦ 0  

t4 > 0

となります。問題で示したいことは、

a1+a2+ a3+ a4  > 0

です。

あと条件として簡単に使えそうなものは、

b1≧b2≧ b3≧ b4  > 0

です。

a1, a2, a3, a4 をb1,b2, b3, b4 とt1,t2, t3, t4で表してみましょう。

すると、

a1 = t1 /b1

a2 = (t2– t1)/b2

a = ( t3 – t2 )/b3

a = ( t4– t3 )/b4

従って、

a1 +a2 + a3+ a4 

=  t1 /b1 + (t2– t1)/b2 + ( t3 – t2 )/b3 +( t4– t3 )/b4

=t1 ( 1 /b1 - 1/b2) + t2( 1/b2 - 1/b3 ) + t3 ( 1/b3 - 1/b4) + t4 ( 1/b4 )

ここで、 b1 ≧ b2≧ b3, ≧ b4 > 0 とこれらの数が逆数になっているかっこの中では大きさが逆になることに注意する。つまり、

1 /b1 ≦ 1/b2

1/b2 ≦1/b3

1/b3 ≦1/b4

従って、

( 1 /b1 - 1/b2) ≦ 0

( 1/b2 - 1/b3) ≦ 0

( 1/b3 - 1/b4) ≦ 0

t1  ≦ 0

t2  ≦ 0

t3 ≦ 0

即ち、

t1 ( 1 /b1 - 1/b2 ) + t2 ( 1/b2 - 1/b3 ) + t3( 1/b3 - 1/b4)  ≧ 0

t4 ( 1/b4 ) > 0

a1 +a2 + a3+ a4 

=  t1 /b1  + (t2 – t1 )/b2 + ( t3– t2 )/b3 +( t4– t3 )/b4

=t1 ( 1 /b1 - 1/b2 ) + t2 ( 1/b2 - 1/b3 ) + t3 ( 1/b3 - 1/b4) + t4( 1/b4 ) > 0

これで目的が達せました。CQFD です。

 

微分や積分を習った時に級数の極限ということも習いましたね。収束しない級数を気軽に扱うと、わけのわからないことが起きるということを勉強しましたね。

S = 1 – 1 + 1 – 1 + 1 -・・・・・

という級数を考えると、かっこのつけ方でSが0になったり1になったりしますね。

S = 1-(1-1)-(1 -1)・・・・=1

S=(1-1)+(1-1)+・・・・=0

あるいは、

S=1-(1-1+1-1+・・・・)

かっこの中は、SはSと同じですから、

S= 1-S

従って、

2S=1

S= 1/2

 

級数が収束するかどうかを確かめることは実に大切ですね。

有名なガロワの理論を打ち立てたガロワと同時代のアーベルがそういった総和法を考えたものがありますが、それのひな型がこの問題になっていますね。

興味のある人は、明治時代に日本の数学を世界的なレベルにしたといわれている高木貞治の解析概論を読んでみるとよいと思います。高木貞治が日本の数学を世界的にしたのは、類体論というまた別の数学の分野です。

  ぎょろめおススメ本

解析概論 改訂第3版 軽装版


もっと新しくてよい本がたくさんありますが、古い時代の本を読んでみるのもよいことですよ。

それでは皆さん、お元気で。

 



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