数と図形

レベル:中学入試

皆さんこんにちは。数学担当のぎよろめです。お元気ですか。 今日は幾何学の問題を考えてみます。 まずその前にウォーミングアップで次のような問題を考えてみましょう。

 

マイクロソフト入社問題
  問題

道路にあるマンホールのふたはたいてい円形です。これは何故でしょうか?


まん丸ですとごろごろ転がっても穴の中へ落ちないからですね。これが時々あるように正方形ですとごろごろずれると、穴の中へ落ちてしまうことがありますね。この「マンホールのふたは何故まるいのか?」という質問がマイクロソフトの入社試験に出たことがあります。

 

こんな問題も考えてみましょう。

  問題

升目上に9個の点があります。この9個をすべて一回ずつ通るように4本の直線で一筆下記をしてください。


正解はこちらです。

皆さんは無意識のうちに直線はこの9個の点のつくる正方形の外に出てはいけないと思っていませんでしたか?

ここでも、「数学はその自由性にあり」という言葉が大きく聞いてきますね。

さて今日の数学の問題に進む前に皆さんに宿題を出しておきます。

  問題

立方体は同じ大きさの立方体をのみこんでしまうことができるでしょうか? 要するに適当に立方体をカットすると、その穴の中を同じ大きさの立方体を通過させられるでしょうか?赤線に沿って切り取れば、ぽっかりと口をあけた切り口が同じ大きさの立方体をのみこめそうですが、さあどうでしょう?


では、今日の問題にうつります。

 

広島学院中学入試問題
  問題

周りの長さ31センチ、最も長い辺が13センチの直角三角形を、下図のように8個並べます。正方形ABCDの面積はいくらですか?また、影を付けた正方形の面積はいくらですか?



解決への道筋

まず上記に見たように、真ん中の正方形の面積が、周囲を囲む直角三角形の形に依存しないのはなぜか考えながら進めてみます。そこが解明できれば、もう解けたも同然 です。

 

【解説】

解法1

下図のようにa,b を決めます。

 

すると a+b=31-13=18 さて真ん中の影の部分の正方形の辺は三角形の長い辺から短い辺を引いたものです。

したがって

真ん中の影の正方形の辺の長さ=b-a

ここでは仮に、 b>a としておきます。

真ん中の正方形の面積は、 (b-a)×(b-a) です。 ここで、

(b-a)×(b-a)=(b+a)×(b+a)-4ab

そして b+a は18で一定であることがわかっていますから,積 ab が一定にならないと真ん中の正方形の大きさが一定になりません。 ここで

2ab=(a+b)(a+b)-(aa+bb)

であることに注意すると、

aa+bb はピタゴラスの定理で斜辺の長さに二乗に等しいことがわかりますから、めでたく積 ab が一定であることがわかってきました。

したがって目標の、

(a-b)(a-b)=(a+b)(a+b)-4ab=18×18-4ab

2ab=(a+b)(a+b)-(aa+bb)=324-169=155

真ん中の正方形の面積=324-310=14

 

解法2

さて前に一度図形の問題を扱う時に、問題となっている図形だけ見ていると簡単な解法を見過ごしてしまうという話をしましたね。 今度の問題でも、真ん中の4個の三角形と真ん中の影の正方形が作る正方形に着目するとその1辺は直角三角形の斜辺の長さになります。

したがって、全体の大きな正方形の面積から直角三角形の斜辺のつくる正方形の面積を引けば残りが外周にある4個の直角三角形の面積の総和になります。

18×18-13×13=324-169=155

これが4個分の三角形の面積の和ですから、大きな正方形は8個の三角形を含んでいますからその面積の総和は2倍の310です。

結局大きな正方形から8個の直角三角形の面積を引けば真ん中の影の部分の正方形の面積が出ますね。

それが 324-310=14

 

同じ結果が出てきましたね。 こうしていろんなアングルから見てみると結構面白いものです。皆さんもやってみてください。宿題を忘れないようにね!

 

最後に、こんなこともついでながら考えてみましょう。

問題では、図形から、真ん中に黒い部分の正方形がさもできるように書いてありますが、斜辺の長さが13センチで3辺の和が31センチというだけでしたら、直角を挟む2辺が同じ長さの時はどうなるのかな?と考えてみましょう。

例えば、上記のような図だってありえるかもしれないわけです。 こうした場合はどうなるのでしょうか?考えてみください。



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