数と式

レベル:中学入試

こんにちはみなさん。数学担当のぎょろめです。お元気ですか。今年もラスト1日となりました。受験を控えている皆さんは、お正月をゆっくり楽しむ気分にもなれないのかもしれませんがこんな時こそリラックスすると、自分の内なる力が発揮できますよ。 ということで今日は少し頭の体操的なゲーム感覚の問題をやってみましょう。

 

神戸女学院中学入試問題
  問題

ここに奇数が3個、偶数が1個あります。これら4個の数から二つづつ取り出して和を作るとそれらの和は、以下のようになりました。

87、62、76、67、56、81

最初にあった4個の数を求めてください。



解決への道筋

漠然とした直観で漠然と考えずに、具体的なケースをいくつか書いてみて問題のイメージをつかんでみましょう。 だいぶ昔の入試問題ですから、きっと出題者は、文字を使わずに鶴亀算のごとく頭の中で考えることを予想しているんだと思います。 でも現代の皆さんは、文字を使ったほうがすっきりと状況を整理できますね。

 

【解説】

解法1

最初の数を、4つ、a,b,c,d としましょう。

そのうちa,b,c は奇数、d は偶数としましょう。

 

まず次のことに注意します。

偶数+偶数=偶数

偶数+奇数=奇数

奇数+奇数=偶数

したがってa,b,c と d の和が奇数となりますね。

つまり、問題に出てくる6個の数のうちの奇数になります。

87、67、81ですね。

ですから a+d b+d c+d がこの3個の数字、

67,67,81になりますね。

 

どれがどれになるかわからないだろうということになりますが、3個の奇数を適当に a,b,c と名前を付けるのですから、

a+d=87 b+d=67 c+d=81

となるように a,b,c を付けたと考えればいいですね。

 

次は a+b b+c c+d

これが、偶数の 62,76,56 になることになりますが、今度は適当にこの三つを当てはめればいいというわけにはゆきませんね。

もうa,b,c は任意ではなくて決まった数字ですから。

a+d=87 b+d=67 c+d=81

となるように a,b,c を決めましたから、どれも d を足しただけですから、

a>c>b

であることがわかります。 すると、a+c が一番大きいことがすぐにわかりますが、 a+b と c+b はどちらが大きいのかすぐにはわかりません。

上の3個の式を二つづつ足してみると、

(a+d)+(b+d)=a+b+2d=154

 (a+d)+(c+d)=a+c+2d=168

(b+d)+(c+d)=b+c+2d=148

どの式も2d が足してあるだけですから、

a+b>b+c

であることがわかります。 したがって、

a+b=62 b+c=56

と決めることができます。

 

あとはふつうの方程式ですから簡単に解けます。

念のため、得られた方程式を全部書いてみると、

a+d=87

b+d=67

c+d=81

a+b=62

b+c=56

c+a=76

 

a+d=87 からc+d=81 を引けば、

a-c=6

 

c+a=76 ですから、これを解いて、

2a=82, a=41

同様にして、 b=21, c=35, d=46 が出せます。

 

解法2

さて数学はもちろん人生や日常生活の問題も解ければよいというものではなくて、いろんな方法で考えてみると楽しくなってくるものです。

数式を使わずにやってみましょう。

4個の数から二つずつ取って足したものが、87,62,76,67,56,81 となるのですから、これらの総和は、各数は三回ずつこの和の中に出てきます。したがってこの6個の数の総和は、最初の4個の数の総和の3倍です。

何故だかわかりますか?

 総和が429ですからこれを3で割ると、143です。

さてここで、奇数同士の和は偶数になり奇数と偶数の和は奇数になることに注意します。

62,76,56は偶数ですから、3個の奇数から2個選んでたしたものになります。

これらの総和がこの3個の数の和になります。

ここでは3個の数の各々は2回ずつ総和の中に出てきます。 何故だかわかりますか?

62+76+56=194 

ですからこれを2で割ると、97です。

つまり3個の奇数の総和が97です。

4個の数の総和が143でしたから、

143-97=46 

が一つだけある偶数となりますね。

あとはこの偶数と残りの3個の奇数の和がそれぞれ、87、67、81となるのですから、46を引けば3この偶数が求められて、

41、21、35

となります。

これで問題解決です。

 

 皆さんどちらの解法がフィーリングにあっていましたか?



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