数と式

レベル:大学入試

皆さんお元気ですか?ときどき深々と静まり返った夜空に煌々としたお月様がみられるようになりましたね。

今日は、知っていればすぐできるという問題をやってみましょう。

こういう問題は、知っているかいないかで差がつきますから、あんまりよい問題とは言えないのかもしれませんね。

 

東北学院大学入試問題
  問題

a,b,c を実数とするときに、次の不等式を証明せよ。また、等号が成り立つのはどのような場合か?

(1)a2 + b2 + c2 ≧ab +bc +ca

(2)a4 +b4 +c4 ≧ abc(a + b + c)


 

【解説】

(1)は公式を覚えているかどうかが勝負の分かれ目です。

a2 + b2 + c2 - (ab + bc + ca) = (1/2){(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2}

の公式を覚えていましたか?

これを覚えていれば、回答はほとんど自明ですね。

等号が成り立つのも、a=b=c の時であることがすぐにわかりますね。

 

(2)をやってみましょう。

せっかく(1)を解いたのですから、(1)が使えないかと考えると、思いつくのは、

a2 →a4

b2 →b4

c2 →c4

をうまく使えないかということですね。 

a → a2 ,b→ b2 ,c → c2  とおき替えると

a4 +b4 +c4 ≧ a2 b2 + b2 c2 + c2 a2

同様に、 a → ab  ,b → bc  ,c → ca とおき替えると、

a2 b2 + b2 c2 + c2 a2 ab bc + bc ca + ca ab =abc(a+b+c)

等号が成り立つのは、(1)の時にやってありますから、置き換えた変数について同じことを考えればいいので、

a2  = b2 =c2     ab=bc=ca    

の時だとわかります。

どれか一つが0ですと、すべてが0なのはすぐにわかりますから、a=b=c どれも0ではないとすると、ab=bc, bc=ca から、a=c,b=a が出ますから、a=b=c となります。

 

コツコツと場合を分けて考えれば何でもない問題ですが、試験の時のように時間が限られていると焦って、簡単にうまくやって時間を稼ごうなどとしますから、そんな時こそ「急がば、まわれ!」を思い出して落ち着いてやってください。



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