数と式

レベル:大学入試

皆さんお元気ですか?少し寒くなってきましたね。風邪をひかないように元気で頑張ってください。

今日は、むつかしくはないが、焦るとできなくなるような問題をやってみましょう。

 

東京工業大学入試問題
  問題

y=(3/4)x2 - 3x +4 の区間 a ≦ x ≦ b ( 0 ≦ a ≦ b ) における値域が a ≦ y ≦ b であるという。この時の a, b の値を求めよ。


 

【解説】

どうですかみなさんできそうですか?

yは単なる二次式ですおまけに変形すると、

y=(3/4)(x – 2)2 + 1

ですから、軸が x=2 の放物線です。

ここまでわかったら、頭の中で何となく想像していても答えは出てきません。 面倒なように思うかもしれませんが、いくつかの場合に分けて、素直にやってみれば、簡単にできます。

放物線の場合、軸が区間の中にある場合と、軸が区間の外にある(右側か左側かもきいてきますね。)を素直に場合分けしてみましょう。

まず絵をかいてみると、次のようになりますね。

数と式(東京工業大学入試問題)|数学|ルシディチュード―灯台教養学部

(1) は、2 ≦ a < bの場合です。(2) は、a < 2 < b の場合です。(3) は、a < b ≦ 2 の場合ですね。

ここまで来れば各場合の放物線の最大と最少を求めるのは容易ですね。

 

まず、(1) の場合を見てみましょう。

yの最小値は、a で、yの最大値はbで到達しますから、

y(a)=(3/4) a2 -3a +4 =a

y(b)=(3/4) b2 - 3b +4 =b

つまり、a,b は次の二次方程式の根となりますね。これを解けば、

a=4/3, b=4

となりますが、これは、 2 ≦ a < b の条件を満たしていません。

 

次に(2)a < 2 < b の場合を見てみましょう。

放物線の軸がa とbの間にありますから、最小値は放物線の頂点でy(2)=1となります。したがって、a=1 であることがわかります。最大値は、y(a) または y(b) で到達します。つまり、

y(a)=y(1)=7/4=b

y(b)=b

となりますが、b=7/4 は、a < 2 < b を満たしません。

y(b)=b の方を解くと、b=4 で条件を満たします。

 

最後に、(3) a < b ≦ 2 を見てみましょう。

これは放物線の軸が区間  a < b の右側にある場合です。したがって、y(a) で最大値、y(b)で最小値を取ります。すなわち、

y(a)=b, y(b)=a となりますから、

(3/4)a2 -3a +4 = b

(3/4)b2 -3b +4=a

上の式から下の式を引くと、

(3/4)(a + b)(a – b) – 3(a-b) =b-a

今仮定より、 a ≠b

従って、

(3/4)(a+b) – 3 = -1

3(a+b) – 8=0

従って、

b=(8/3) – a

(3/4)a2 -3a +4 =(8/3) – a

9a2 -24a +16 =0

(3a -4)2 =0

a = 4/3

同じように、

b=4/3

となるから、これは a ≠b  に反する。

 

従って最終的に条件を満たすのは、(2)の場合だけであることがわかります。すなわち、

a=1, b=4

が答えになりますね。

 

どうですか、皆さん。全然難しくありませんが、こつこつ場合を分けてやるという作業を省こうとすると、なんだかやたらと難しい問題のように見えますね。

どんな時でもコツコツと場合を分けて考えてみるということの大切さ体得できましたか?



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