数と論理

武蔵野中学入試問題

皆さんお元気ですか?今年も残すところあと1か月強になりました。

前回に続いて今日もコツコツやることの大切さの分かる問題をやってみましょう。

 

武蔵野中学入試問題
  問題

A、B, Cの3種類の玉があります。それぞれの玉一個の重さと個数は下記の表のとおりです。

 

種類 一個の重さ(g) 個数
A 5.7 19
B 5.0 20
C 3.3 20

 

これら59個の中からいくつかを選び重さを測ったら204gでした。A,B,Cの玉を何個ずつ測ったのでしょうか。考えられる場合をすべて示しなさい。


 

【解説】

問題を解くことはそんなに難しくないのかもしれませんが、場合を落ちこぼしたりしないように気を付けることが肝心です。

やってみましょう。

重さの合計が204gと整数値ですから、玉AとCの数は任意に取れませんね。

整数になるためには、玉AとCが同じ数であるか、その差が10の倍数であることが必要です。

場合にわけると、

(1)AとCの玉の数が同じ。

(2)Aの玉の数がCの玉の数よりも10個多い。

(3)Cの玉の数がAの玉の数よりも10個多い。

球Aの数が19個、玉Cの数が20個ですから、これ以外のケースはありませんね。

(1)の場合です。

AとCの数が同じですからそれをnとします。Bのかずをmと置きます。すると、

(5.7+3.3)n+5m=204

つまり、

9n+5m=204

を、

0≦n≦19

0≦m≦20

の条件のもとで解けばよいですね。

全部試してみてもそう面倒ではありませんがここはなるべく要領よくやりましょう。

9n=204-5m     

0≦m≦20

ですから、

104≦9n≦204

nは19以下ですから、

104≦9n≦171

nもmも整数ですから、

9n=204-5m 

より、 9nの1の位の数字は、9か4となることがわかりますね。

104≦9n≦171

でこの条件を満たすのは、 144だけです。

これは9の倍数を素直に並べてみればわかります。

従って、

n=16

m=12

が出てきます。

 

(2)AがCよりも10個多い場合です。 このばあいも(1)と同じように推論します。

57+9n+5m=204

つまり、

9n+5m=147

9n=147-5m

nはAとCの共通の玉の数ですから、すでにAは10個使っていますからこれは9個以下でしかあり得ません。

従って、

47≦9n≦81

今度は、

9n=147-5m

より、1の位が2か7の9の倍数であることがわかりますね。

(1)と同じようにやってみると、 72だけがこの条件を満たします。

従って、

球Aが18個、Bが15個、Cが8個であることがわかります。

 

(3)Cが10個多い場合です。

この場合は

33+9n+5m=204

従って、

9n+5m=171

上記と同じように推論して、

71≦9n≦81

今度は1の位が、1か6の9の倍数になりますね。

81だけがこの条件を満たします。

球Aが9個、Bが18個、Cが19個であることがわかります。



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