数と論理

レベル:大学入試

皆さんお元気ですか?秋は何となく物思いにふけりやすいときですね。

今日は問題に入る前に皆さんに行く夏を惜しみ来る秋冬に思いをはせながら、そして自分の未来の思いをはせながら、読んでもらいたい本を一冊まずご紹介します。

  ぎょろめおススメ本

ガロアの生涯―神々の愛でし人


私がずいぶんと昔に高校生のころ読んだ時には、著者の名前の中にインフェルトのほかにアインシュタイン(例の相対性理論を創設したあのアインシュタインです。)の名前も出ていましたが、最近の版ではアインシュタインの名前が出ていません。

数学史上最も美しい理論といわれる「ガロアの理論」を生み出したガロアが生きていたころのフランスの社会が生き生きと描かれていて大変興味深いものがありますよ。

 

それでは、今日の問題をアタックしましょう。

 

岐阜大学入試問題
  問題

実数xに対して、[x]はxを越えない最大の整数を表す。

(1)実数 a は a ≧ 1 であれば、次の条件 (C)を満足することを示せ。

(C) : すべての0以上の実数x、y に対して、            

[ x + y ] + a > 2 √xy

(2)条件(C)を満足する実数 a の中で a = 1 は最小であることを示せ。


 

【解説】

ガウスの記号 [x+y] といった数学の記号は、想像力を飛翔させる時にはすごく便利ですが、自分の頭の中に数学の環世界を育ててゆくときには、必ずしも役に立ちません。

こんな問題を考える時にも、自分の頭の中にある手持ちのフィーリングに書き換えることですね。

ガウスの記号の定義から、x+y の小数部分を αとすると、

x+y= [x+y] + α

さて物の大きさを比較するときには、引いてみることですね。

[x+y] + a - 2 √xy = x+y - α + a - 2 √xy  = (√x + √y)2 +a - α

ここで、

a ≧ 1 > α

ですから、(1)の不等式は証明できましたね。

同時に、ガウスの記号[  ]の定義より、x+yを適当にとれば、その小数部分 α はいくらでも 1 に近づけられますから、(c)の条件を満たすのは、必ず1以上になることがわかりますね。

ですから1が最小であるということがわかります。

それでは皆さん今日も元気に頑張りましょう!



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