数と論理

レベル:大学入試

こんにちは、みなさん。すっかり秋の気配になってきましたね。時々煌々と夜空に静かに輝いているお月様を見ると宇宙のかなたに飛んでゆくような大きな夢がわいてきますね。

今日は論理に注意して問題をやってみましょう。

 

近畿大学入試問題
  問題

放物線 y = x2 上に異なる2点 A(a, a2 ), B(b, b2 ) (a > b ) がある。 ∠ACB=90° を満たすCが、この放物線上にあるための、 a,b の条件を求めよ。


 

【解説】

こういう問題はまず図を描いてみることですね。

次のようになります。

数と論理(近畿大学入試問題)|数学|ルシディチュード―灯台教養学部

 

最近は中学あたりからベクトルを習いますから、ベクトルで解く人もきっといるでしょうね。

皆さん、まず自分の一番考えやすい方法で解いてみてください。

 

C=(t, t2 ) と置きましょう。すると 直線ACの傾きは、

(t2 – a2) /(t – a) = t + a

同じように直線BCの傾きは、

(t2 – b2)/(t – b)= t + b

となります。これらが直交するために条件を覚えていますか?

二つの傾きの積が -1 となることですね。

(t + a )( t + b) = -1

t2 + ( a + b )t + ab + 1 =0

が実数解 t を持てばよいことがわかりますね。ただし、t ≠ a ,b です。

二次方程式ですから、この判別式 Dがゼロ以上なら実数解をもちますね。

ただし、t ≠ a ,b  です。

さて、

D=(a + b)2 - 4(ab + 1) =(a – b)2 - 4 ≧ 0

a > b でしたから、

a – b ≧ 2

が出てきます。

最後に、 t ≠ a ,b  を確かめましょう。

一つ条件を満たす t があれば十分ですから、t の二次方程式が a,b を根とすると仮定すると、根と係数の関係より、二つの根の積が、

ab + 1

ですから、これは今の仮定の二つの根がa,b と矛盾しますね。

したがってこの場合は起こりません。

では t の二つの根が a の場合はどうでしょう?

この場合は重根ですから、 D=0です。

従って、

t={ -(a+b) ±√D}/2=-(a+b)/2

これが、a に等しいのですから

-(a+b)/2 =a

b= -3a

D=0 より、

a – b=2

この連立方程式を解くと、

(a ,b )=(1/2, -3/2)

次にtの方程式が二つともbの場合を考えてみましょう。

同じように推論して、

(a,b)=(3/2, -1/2)

以上をまとめると、

a – b ≧ 2 、(a,b) ≠ (1/2, -3/2)、 (3/2, -1/2)

 

これで問題は解けましたが、この a,b の例外の点がなぜ出てきたのか? どういうシチュエーションに対応しているのかということも、皆さんは考えてみてください。

そうすると単なる受験ではなくて、本当に力がつきますよ。



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