数と論理

レベル:大学入試

皆さんお元気ですか?今年もあと2か月半となりましたね。元気に頑張っていますか?

先日漸化式や数列のお話をしましたから今日はそういった考え方も使える解法のある問題をやってみましょう。

 

大阪教育大学入試問題
  問題

自然数nをそれよりも小さい自然数の和としてあらわすことを考える。ただし、1+2+1、 1+1+2 のように和の順序が異なるものはべつのあらわしかたととする。例えば、自然数2は1+1の1通りの表し方ができ、自然数3は、2+1、1+2、1+1+1の3通りの表し方ができる。

(1)自然数4の表し方は何通りあるか?

(2)自然数5の表し方は何通りあるか?

(3)2以上の自然数nの表し方は何通りあるか?


 

【解説】

親切な問題ですから、(1)と(2)で4の場合と5の場合を具体的にやってみてアタリを付けよと言っていてくれますね。

とにかく現代数学は抽象数学などと言う人もいますが、常に具体的にやってみるところから始めるということを忘れないことです。どんなに抽象的なものも人間の感覚と感性が作り出したものなのですから。

さて今後の記法を簡単にするために、ここでは自分より小さい数であらわす表し方の中に、自分自身も入れておくことにします。

どういうことかというと、例えば2でしたら、1+1だけではなくて、2自身もその和の表現に加えるということです。3でしたら、3もその表現のうちの一つということですね。

こうして考えても出てきた結果から1を引けば問題で求めている数が出せますから、問題はありませんね。

 

さてこう約束してやってみましょう。

1は、一通りの表現、

2は、2と 1+1 の二通りの表現ですね。

3は、 3、 1+1+1、 1+2、 2+1 の4通りの表現。

4は、 4、1+1+1+1、 1+1+2、 1+2+1、 2+1+1、 2+2 1+3、 3+1 の8通りの表現です。

5も同じようにやってみればよいのですが、ここでは一般のnの場合を考えるヒントとなるように次のように考えてみましょう。

一番左が1の場合残る和の部分は総和が5ですから4となります。

同じように一番左が2の場合には残る和の部分は3となります。

同じように考えると、nをこうして表すやり方の数をF(n)と置くと、

F(5)=1+F(4)+F(3)+F(2)+F(1)

となることがわかります。

従って、

F(5)=1+8+4+2+1=15

 

それでは一般のnの場合をやってみましょう。

F(n)=1+F(n-1)+・・・・・・+F(1)

F(n+1)=1+F(n)+・・・・+F(1)

下から上を引くと、

F(n+1)-F(n)=F(n)

F(n+1)=2F(n)

これは単なる等比数列ですから簡単に求まりますね。

F(n)=2n-1

問題が求めている数は、F(n)-1 でしたから、

n-1-1

が求める数字になります。

 

数学の面白いところは、やり方がいくつもあってどれも正しいということです。

この問題も数列の問題ではなくて組み合わせのもんだとしても解けるんですよ。

n=1+1+1+・・・・・・・・・・+1

とn個の1の和がnですから、この(n-1)個の和の符号を実際に足すか足さないかを決めることで、この問題の表現のすべてが得られるわけですね。

最初の+だけを実際に足せば、 2+1+1+・・・・・・+1 がえられます。

従って、(n-1)この足し算の記号を使うか使わないかの二通りから選ぶ場合の数だけの表現が存在することがわかりますね。

つまり、 2n-1通りの表現があることがわかりますね。

 

こういった組み合わせ的な考え方は他にもありますから皆さんも自分で考えてみてください。



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