数と論理

甲陽学院中学入試問題

高校の高学年や大学に入ると、高尚な(?)理論や公式を使わないと格が落ちるように思っている人もいるようですが、そんなことはなくて、こつこつと場合を調べてゆくことを楽しめるくらいになったほうが数学も本物になりますよ。

 

甲陽学院中学入試問題
  問題

3桁の整数Aがあります。Aの一の位、十の位、百の位の数字はどれも違う数字で、しかも0は入っていません。いま、Aの各位の数字を並べ替えてまと5つの整数を作ります。これにAも含めて、6つの整数を加えたところ、和が3108になりました。

Aの各位の数の和はいくらですか。また、このような性質を持つ数は全部でいくつありますか。さらに、これらの数を小さい順に並べた時、30番目に来る数はどんな数ですか。


 

【解説】

こういう問題を「何とかの定理」を使ってスマートですっきりと解こうと思うと苦労しますね。 こういうものはコツコツやってみるのが一番です。また、すると、問題の意味が良くわかってきます。

Aの各位の数を、a,b,c とすると、Aは

A=100a+10b+c

と書けますね。aとbを入れ替えれば、

100b+10a+c

となりますし、aとcを入れ替えれば、

100c+10b+a

となります。

同様にすべての組み合わせをやってみると、出来上がる数のすべての和が、

200(a+b+c)+20(a+b+c)+(a+b+c) =222(a+b+c)

となることがわかります。今この和が3108ですから、

a+b+c  =14

となることがわかります。a,b,c は0ではありませんから、これは簡単に解くことができますね。

a,b,c は次の8通りになります。

1,4,9

1,5,8

1,6,7

2,3,9

2,4,8

2,5,7

3,4,7

3,5,6

これを見ていてすぐわかることは、100の位が、1,2,3,4,5,7の数はそれぞれ6個ずつあります。

100の位が6,8,9の数はそれぞれ4個ずつあります。

ここですぐに気がつくことは、100の位が1,2,3,4,5の数だけでちょうど5×6=30個あります。後は、100の位が、6,7,8,9ですからこれらの数よりも大きくなります。

したがって小さい順に並べて30番目の数は、100の位が1,2,3,4,5の数のグループで一番大きなものになります。

上の数の組み合わせを見ればそれが、581であることがすぐにわかりますね。

 

やっぱりコツコツとやってみる楽しさを身に着ける練習で次の問題を宿題にしておきます。

 

  宿題

(n2) ! は、 (n!)n+1 で割り切れることを証明せよ。




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