放物線とグラフ

レベル:大学入試

皆さんお元気ですか?急に秋らしくなってきましたね。体に気を付けて頑張ってくださいね。

今日は放物線のグラフを扱ってみましょう。

 

一橋大学入試問題
  問題

放物線 y=a(1 – x2 ) とx軸で囲まれる範囲にあり、原点でx軸に接する円の半径の最大値を求めよ。ただし a > 0 とする。


 

【解説】

指定された領域にある円とは次の図のようになりますね。

放物線とグラフ|数学|ルシディチュード-灯台教養学部

上記では、良く表れる放物線を描いてありますが、a の値次第では下記のようになることもありますから、変な直感で判断すると間違えるかもしれませんね。

放物線とグラフ|数学|ルシディチュード-灯台教養学部

さて、この指定された領域内に円があるという条件を皆さんはどのように表現しますか?

方法はいくつもありますから、皆さんも受験の教室の中にいるわけではありませんから(その場合には時間が限られていますから、あんまり余計な思索をしていると時間切れになりますね。)いろいろと考えてみてください。

じわじわと小さな円が領域内で膨らんでいって放物線に達した時にどうなるかといえば、急に交差するということはありませんから、接しますね。接するということは二つの方程式(円と放物線)が重根を持つということですね。

あるいは、円の上の点 (x,y) について、常に

0≦y≦a(1 – x2 )

となるような最大の半径rを求めても良いですね。

 

ここでは皆さんと一番字面通りの素直な方法をやってみましょう。

放物線上の点 P (x,y) と円の中心 A (0,r) の最短距離をmと置きます。mを求めて、 円の半径 r ≦ mとなるようにすれば、円周は放物線の内部の領域に入っていますね。

AP2  =x2 +(y – r)2

x2 =1 – y/a

AP2 =1 – y/a + (y – r)2 = y2 - (2r + 1/a) y +r2 +1

={y – (r + 1/2a)}2  (r + 1/2a)2 + r2 +1

ここで、yの変域は 0 ≦ y ≦ a です。

この放物線は下に凸ですから最小値を与えられた変域で求めます。

軸が変域の中にあるか外にはみ出ているかによって分けて考えます。

 

(1)

放物線とグラフ|数学|ルシディチュード-灯台教養学部

0 ≦ r + 1/2a ≦ a の時には最小値は放物線の頂点ですね。          

つまり、

AP2 =  (r + 1/2a)2 + r2 +1          

m=r とすると 1 – 1/2a

(1)の条件から 1 ≦ a がわかります。

 

(2)

放物線とグラフ|数学|ルシディチュード-灯台教養学部

放物線の軸がyの変域の外に出ているときには、最小値は y=a で達します。この時には点Pは (0,a) にあります。したがってAPは

AP=a – r

となります。これがrに等しいと置いて

a – r = r

従って r =a/2

円周の両端が、原点とA(0、r)にあるのですから、これは当たり前ですね。

放物線の軸がyの変域の外にあるのですから、

r + 1/2a > a

ここに今得られたrの式を代入すると、 a <1

 

(1)と(2)を総合すると、

a ≧ 1 の時 r= 1 – 1/2a,

0 < a < 1 の時は r=a/2

 

これで求める答えが出ました。 先入観にとらわれずに図をいろいろと書いてみることも問題を直感的につかむのに役立つということが体得できましたか?

 

 

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