整数と二次方程式

レベル:大学入試

皆さんお元気ですか? だいぶ涼しくなってきましたね。私の家では空調の暖房が機能するかどうか確認しましたよ。

今日は、次のような問題をやってみましょう。

いつも言っているように、こういう問題をやるときには何か抽象的に美しい解き方をしようなどとは思わずに泥臭くいろいろとやってみるということですね。

 

東北大学入試問題
  問題

二次方程式 x2 +ax + b =0 が引き続いた二つの整数を根にもち、二次方程式 x2 +bx + a =0 が、正の整数を根に持つとき、 a,b を求めよ。


 

【解説】

何か雲をつかむような話だと思っている人はありませんか? そんな時には自分で新しい変数を導入して、とにかく具体的に書いてみることです。

問題の条件は引き続いた二つの整数を根にもち、というkとですからこれをまず、n と n+1 としてみましょう。

これだけでも具体性が増しましたね。

そうすると根と係数の関係で、

n+(n+1)= -a

n(n+1)=b

となることを知っていますね。

これをもとの方程式に代入してみましょう。すると、 二番目の方程式は下記のように書けます。

x2 + n(n+1)x – (2n+1) = 0

左辺の二次式のグラフを考えると、次のようになります。

整数と二次方程式(東北大学入試問題)|数学|ルシディチュード―灯台教養学部

ここで、この二次式の軸は、

x=-n(n+1)/2

となることと、

n(n+1)≧ 0

であることに注意します。

なぜそうなるかですか? 二次式のグラフをかいてみれば、負となる部分 が、

-1 ≦ n ≦ 0

となりますからすぐにわかりますね。

さて問題としている二次方程式の根の一つが正の整数ですから、とにかく 1以上のところでこの 二次式のグラフがx軸と交差することが必要ですね。

つまり f(1) ≦ 0 が出てきます。

n(n-1) ≦ 0

n は整数でしたから、

n=0 あるいはn =1が出てきます。

やってみましょう。

n=0 の場合を見てみましょう。

この時方程式は、

x2 – 1 = 0

となりますから、問題の条件を満たしますね。従って、

a=-1,b=0

次にn=1 の場合を見てみましょう。

この時方程式は、

x2+ 2x -3 = 0

となります。根は、+1 と -3 ですから、 条件を満たします。この場合には、

a = -3, b=2

となることがわかります。

これで問題解決です。

 

どうですかみなさん、自分の手持ちのものを総動員して具体的にやってみることの楽しさわかりましたか?



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