確立と論理

レベル:中学入試

確率について、教科書には次のように説明してあることが多いですね。  

Aということが起こる確率=(Aという事象の場合の数)÷(考えている全部の事象の場合の数)

今日は、上記の確率の定義に対する注意を一つ述べておきます。   

 

確率

Aということが起こる確率=(Aという事象の場合の数)÷(考えている全部の事象の場合の数)

この時にそれぞれの事象が起こる起こり方が同じだということを確認しておく必要があります。

どういうことか説明するために、次の例を考えてみましょう。

2枚の硬貨を投げるときに、(表と裏)の組み合わせの出る確率は?

これを(表と表)、(表と裏)、(裏と裏)の3つの場合があり、そのうち問題にしているのは(表と裏)だから、求める確率は、1÷3で三分の一とすると間違いです。 次のように表を作ってみると分かります。

硬貨1
硬貨2

したがって(表と裏)になる場合は、二通りありますから、起こる場合の数も二通りになります。

つまり、確率としては、 (表と裏の組み合わせの出る確率)=2÷4=1/2

 

例題を一つ宿題として出しておきます。やってみてください。

  問題

二人がじゃんけんをするときにあいこになる確率は?


 

では、次の問題をやってみましょう。

 

山脇学園中学入試問題
  問題

A,B,Cの三人が夏期講習会にやってきました。3人の名前は弘子さん、幸子さん、花子さんですが、だれがAで、だれがBで、だれがCだかわかりません。3人は東京、埼玉、千葉に住んでいます。次のヒントから、A,B,C3人の名前と住んでいる場所を当てなさい。

(1)同じところに住んでいる人はいません。

(2)Bさんは東京に住んでいて、幸子さんを知りません。

(3)Aさんのテストの結果は弘子さんと同じです。

(4)Cさんは花子さんが埼玉に住んでいることを知っています。



解決への道筋

フィーリングに頼らずに一つずつ論理的に取り組んでみましょう。

 

【解説】

(2)から、Bさんは東京に住んでいて幸子さんを知らないのですから、幸子さん以外のひと、つまり弘子さんか花子さんとなりますね。

(4)から花子さんは埼玉に住んでいますから、Bは東京に住んでいるので花子さんではありません。したがってBは弘子さんとなります。

(4)でCさんは花子さんが埼玉に住んでいることを知っているので、Cは花子さんではありません。

(ここのところは厳密に言うと、Cが花子さん自身で、埼玉に住んでいることを知っていてもよいというか、数学的にはそう考えたほうが良いともいえます。しかし、ここではそういった考え方をしないことにします。)

したがって、Cは弘子さんか幸子さんです。

Bが弘子さんですから、Cは幸子さんということになります。

残りの花子さんがAとなりますね。

 

まとめると、Aが花子さんで埼玉に住んでいる。Bが弘子さんで東京に住んでいる。Cが幸子さんで千葉に住んでいることになります。

 

論理的に考えるということはなれるまでは面倒なようでも慣れてくると非常に強力な力となりますから、皆さんも常日頃からフィーリングだけに頼らずに常に論理的に考える習慣を付けましょう。

 



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