漸化式の威力 ウサギの問題

皆さんお元気ですか。すっかり夏が去ってしまい少し寂しくなりましたね。 今日も前々回の続きで漸化式の問題を、フィボナッチ数列で考えてみましょう。

フィボナッチ数列は自然界でいたるところに出てきますし、金融の世界でも出てきます。

前々回では、2か月目から子供を産み始めるウサギのつがいの数を考えて漸化式を出しましたね。この問題を今日は取り組んでみましょう。

 

ウサギの問題
  問題

一つがいのウサギがまずいます。この一つがいのウサギは毎月一つがいの子供を産むとします。産まれた一つがいのウサギは産まれて二か月目からまた一つがいの子供を産み始めます。 さて、この時に、毎月ウサギは何つがいになってゆくのでしょうか?


図であらわすと、下図のようになりますね。

漸化式の威力 ウサギの問題

ここから簡単に、

an = an-1+an-2

が出てきます。

ここで一工夫してこの漸化式を解きます。よくやる手ですから皆さんももう使ったことがあるかもしれませんね。

 

an+2 = an+1 + an

です。

an+2― Pan+1 = α(an+1 ― Pan)

となるような、P、αを求めればTn+2 = an+2 ― Pan+1が等比数列となりますからTn+2が求められます。

上の式を変形してみると

an+2 = ―αPan + (α+P)an+1

これと

an+2 = αn + an+1

を比べれば

―αP = 1

α+P = 1

となる、α、Pがうまく求まれば漸化式を求めるのに使える二次方程式の根と係数の関係より、α、Pは

x2―x―1 = 0

の根となります。

α=1±√5 /2   P=1±√5 /2  (複合同順)

ここから

an―Pn-1 = αn-2(1-P)

が出てきますね。ここで、a1=a2=1を使いました。

ここで具体的に

α=1+√5 /2、P=1-√5 /2

α=1-√5 /2、P=1+√5 /2

を代入してみると

an-1-√5 /2 an-1 = (1+√5 /2)n-1

an-1+√5 /2 an-1 = (1-√5 /2)n-1

なる連立方程式が出てきます。根号があるのでややこしそうですが、注意してやると

an = 1/√5 {(1+√5 /2)n - (1-√5 /2)n}

 

これで目標は達成したのですが、皆さん驚きませんか?

このanは平方根の冪を含んでいるのですが、それでもすべてのnについてanは整数となるのですよ。

まあ、anの形を見ていれば勘の鋭い人でしたら、いろいろと気づくことがあると思います。

いくつか面白い等式を挙げておきますから皆さん自分でやってみてください。

 

an+m=aman-1 + am-1an

an-1 an+1- an2 =(-1)n



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