数列と幾何学

レベル:大学入試

皆さんお元気ですか。今年もあと2か月になってしまいましたね。頑張って元気に陽気にやりましょう。

今日は久しぶりに幾何学の問題を扱ってみましょう。

 

関西大学入試問題
  問題

三角形ABCにおいて、AB=8、BC=7、 ∠C=90° とする。三角形ABCに内接する円をO1 とし、次に辺AB、BCと円O1 に接する円をO2 とする。以下図のように順にO3 、O4、・・・、On を作図する。円On の半径をrn、 Sn を面積とする。

数列と幾何学(関西大学入試問題)|数学|ルシディチュード―灯台教養学部

(1)rn を求めよ。

(2)sin(B/2) を求めよ。

(3)∑ が収束することを示し、その値を求めよ。


 

【解説】

どうですか皆さん?できそうですか。

こういう図形の問題をまず図形を自分でできるだけ正確に書いてみることですね。すると、もう半分解けたも同じです。

 

問題を出された順に解く必要はありませんから、まず異分子のごとくはいっている(2)から片づけましょう。

これは三角関数の加法定理を使えばすぐに出てきますね。

cosB=cos(B/2 +B/2) = cos2 (B/2) – sin2 (B/2) = 1 – 2 sin2(B/2)

となりますから、

sin(B/2)=√(1-cosB)/2 =√1/16=1/4

 

さて次は(1)ですが、三角形ABCの面積を二通りであらわして見ます。

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(7√15)/2

もう一つはO1から垂線をおろすと、ちょうど高さがr1の三つの三角形に分割されます。従って、

(AB+BC+CA)r1 /2 =(8 + 7 + √15)r11 /2

この二つからr1が求まりますね。

r1 = (√15 – 1)/2

 

さて次に(3)ですが、これは内接円の中心が角Bの二等分線の上にあることに注目して図のように考えます。

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(rn + rn+1 )sinB/2 = rn - rn+1

これを解いて、

rn+1 = (3/5)rn

簡単な等比数列になることがわかりますね。したがって

rn = r (3/5)n-1

円の面積は、πr2 ですから、

Sn =πr 12 (9/25)n-1

の和は等比数列の和ですからその等比が1より小さければ収束しますね。

これはその和が円の面積の和ですから三角形の面積より大きくはなりませんから収束するに決まっていますね。

Sn の総和={25(π-√15)π}/32

 

どうですか皆さん、図形を実際に書いてみることの面白さが体感できましたか?



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