数列と論理(関西大学入試問題)

レベル:大学入試

皆さんお元気ですか。春が戻ってきたような気持ちの良いお天気が続いていますね。

今日は数列の問題をやってみましょう。

 

関西大学入試問題
  問題

数列{an }は初項 a1 =1 である。初項からn項までの和をS(n)とするとき、           

S(n+1)=4an  +3(n=1,2,3、・・・)

が成立している。この時、次の問いに答えよ。

(1)n≧2 の時、 an+1 - 4 an + 4an+1 =0 が成立することを示せ。

(2)n≧1 の時、 bn = an+1 - 2 an とおく、数列{bn } の一般項を求めよ。

(3)n≧1 の時、cn= an /2n とおく、数列 { cn } の一般項を求めよ。

(4)数列 { an } の一般項を求めよ。


 

【解説】

どうですか皆さん、できそうですか?

(1)から(4)で順に解き方が書いてありますからむつかしくありませんね。

これが、

(問題)数列{an }は初項 a1 =1 である。初項からn項までの和をS(n)とするとき、           

S(n+1)=4an  +3(n=1,2,3、・・・)

が成立している。この時、an を求めよ。

だけだと少し苦労するかもしれませんね。

やってみましょう。

S(n)は an のn項までの和ですから、       

S(n+1) -S(n) =an+1

仮定より、  

S(n+1)=4an  +3(n=1,2,3、・・・)

ですから、      

S(n+1)- S(n)= 4an - 4an-1

従って、      

an+1 = 4 an - 4an-1

即ち、     

an+1 - 4 an + 4an-1 =0

 

(2)(1)で得られた等式を変形すると、      

an+1 - 2 an = 2( an - 2an-1 )

即ち、      

bn = 2bn-1 (n≧2) b1 = 4

従って、      

bn = 2n+1

 

さて、次に(3)をやりましょう。  

an+1 - 2 an = 2( an - 2an-1 )

を使えば、  

an+1 - 2 an = 2n+1

従って、  

an+1/ 2n+1 - 2 an / 2n+1 = 1

つまり、

cn+1 - cn = 1

は単なる等差数列ですから、

cn = n – ½

 

(4)ここまでくると簡単ですね。      

an = 2 n c n =(n – ½) 2 n

 

これで問題の解答は終わりです。

どうも簡単すぎて面白くないと言う人向けに、次の宿題を出しておきます。

  宿題

a nがαに収束するときに、 {a 11 +a 2 + ・・・+ a n } /n もαに収束することを示せ。


微積分のところで収束という概念を勉強したと思いますが、ここでは極限の概念についてはあまりむつかしく考えずにやってみてください。

 

ロシアの有名な数学者にポントリャ-ギンと言う人がいましたが、彼は13歳の時に事故で完全に失明して、それから数学の世界に入った人ですが、彼が、極限という概念はあまり神経質に考えずにまず、数学の世界に親しみそれから厳密に極限について考えればよいといっていますね。

まあ、その辺は、私たち一人一人の感性に依存することですから、皆さんは自分の感性に耳を傾けてやってみてください。

 

皆さんも読めそうなポントリャ-ギンの本紹介しておきますね。

 



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